Exercice corrigéExercice 2 (5 points)
Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L.
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
- L : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
- C : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
- Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
- Calculer P\left(L \cap C\right) la probabilité de l'évènement L \cap C.
- Montrer que P\left(C\right)=0,5675.
- Calculer P_{C}\left(L\right), la probabilité de l'évènement L sachant l'évènement C réalisé. En donner une valeur arrondie à 10^{-4} près.
- On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
- Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
- Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à 10^{-4} près.
- Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Corrigé
- D'après la formule des probabilités conditionnelles :
p\left(L \cap C\right)=p\left(L\right)\times p_{L}\left(C\right)=0,55\times 0,95=0,5225 - D'après la formule des probabilités totales :
p\left(C\right)=p\left(C \cap L\right)+p\left(C \cap \overline{L}\right)=p\left(L\right)\times p_{L}\left(C\right)+p\left(\overline{L}\right)\times p_{\overline{L}}\left(C\right)
p\left(C\right)=0,5225+0,45\times 0,10=0,5675. - D'après la formule des probabilités conditionnelles :
P_{C}\left(L\right)=\frac{p\left(L \cap C\right)}{p\left(C\right)}=\frac{0,5225}{0,5675}\approx 0.9207 à 10^{-4} près. -
- n est le nombre d'élèves choisis : n=4
p est la probabilité qu'un élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire : p=0,5675 (d'après 3.) - On recherche p\left(X=0\right)
p\left(X=0\right)=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times p^{0}\times \left(1-p\right)^{4}=0,4325^{4}\approx 0,0350 à 10^{-4} près. - On recherche p\left(X=2\right)
p\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\times p^{2}\times \left(1-p\right)^{2}=6\times 0,5675^{2}\times 0,4325^{2}\approx 0,3615 à 10^{-4} près.
- n est le nombre d'élèves choisis : n=4
