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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Bac blanc ES/L Sujet 4 - Maths-cours 2018

Exercice 2 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Les probabilités demandées seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Dans un lycée parisien, on a dénombré 52% de filles et 48% de garçons.

Une étude a révélé que, dans ce lycée, 59% des filles et 68% des garçons pratiquaient un sport en dehors de l'établissement.

On choisit au hasard un élève dans ce lycée et on considère les événements suivants :

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-après :

    Arbre de probabilité à compléter

  2. Quel est la probabilité que l'élève choisi soit un garçon pratiquant un sport en dehors du lycée ?

  3. Quel est la probabilité que l'élève choisi pratique un sport en dehors du lycée ?

  4. On sait que l'élève choisi pratique un sport en dehors de l'établissement. Quel est la probabilité que ce soit un garçon ?

Partie B

Luc doit se rendre, par les transports en commun, à un cours de natation qui débute à 10h. En fonction de la circulation, il arrive entre 9h30 et 10h15.

On suppose que son heure d'arrivée peut être modélisée par une variable aléatoire TT qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [9,5 ; 10,25]{[9,5~;~10,25]}.

  1. Quelle est la probabilité que Luc arrive à l'heure à son cours ?

  2. Quelle est la probabilité que Luc arrive avec plus d'un quart d'heure d'avance à son cours ?

  3. Quelle est l'espérance mathématique de la variable aléatoire TT ? Interpréter cette valeur dans le cadre de l'exercice.

Corrigé

Partie A

  1. D'après les données de l'énoncé :

    • p(F)=0,52p(F)=0,52 ;

    • p(G)=0,48p(G)=0,48 ;

    • pF(S)=0,59p_F(S)=0,59 ;

    • pG(S)=0,68p_G(S)=0,68.

    On obtient alors l'arbre ci-après :

    Arbre de probabilité complété

  2. La probabilité demandée est p(GS)p(G \cap S) :

    p(GS)=p(G)×pS(G)=0,48×0,68=0,3264p(G \cap S)= p(G) \times p_S(G)=0,48 \times 0,68 = 0,3264.

    En pratique

    L'événement GSG \cap S correspond à : « les événements GG et SS sont tous les deux réalisés ».

    La probabilité de GSG \cap S peut se calculer à l'aide de la formule :

    p(GS)=p(G×pG(S). p(G \cap S)= p(G \times p_G(S).

    À partir de l'arbre pondéré, cela revient à multiplier les probabilités situées sur :

    • la branche qui aboutit à GG,

    • La branche qui relie GG à SS.

  3. La probabilité cherchée est p(S)p(S).

    D'après la formule des probabilités totales :

    p(S)=p(FS)+p(GS)p(S)=p(F\cap S) + p(G\cap S)
    p(S)=p(F)×pF(S)+p(G)×pG(S)\phantom{p(S)}=p(F) \times p_F(S) + p(G) \times p_{G}(S)
    p(S)=0,52×0,59+0,48×0,68=0,6332\phantom{p(S)} = 0,52 \times 0,59 +0,48 \times 0,68=0,6332.

  4. La probabilité demandée est pS(G)p_S(G).

    D'après la formule des probabilités conditionnelles :

    pS(G)=p(GS)p(S)=0,32640,63320,5155 p_S(G)=\dfrac{p(G\cap S)}{p(S)}=\dfrac{0,3264}{0,6332} \approx 0,5155\ 10410^{ - 4} près).

Partie B

  1. Luc est à l'heure à son cours s'il arrive entre 9h30 et 10h, c'est à dire si 9,5T109,5 \leqslant T \leqslant 10.

    TT suivant la loi uniforme sur l'intervalle [9,5 ; 10,25][9,5~;~10,25] :

    p(9,5T10)=109,510,259,5=0,50,75=230,6667 p(9,5 \leqslant T \leqslant 10)=\dfrac{10 - 9,5}{10,25 - 9,5}=\dfrac{0,5}{0,75}=\dfrac{2}{3} \approx 0,6667\ 10410^{ - 4} près).

    À retenir

    Si XX suit la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b][a~;~b], alors pour tous réels cc et dd de l'intervalle [a ; b][a~;~b] avec cdc \leqslant d :

    p(cXd)=dcba. p(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a}.

  2. Luc arrive à son cours avec plus d'un quart d'heure d'avance s'il arrive entre 9h30 et 9h45, c'est à dire si 9+12T9+34{9+\dfrac{1}{2} \leqslant T \leqslant 9+\dfrac{3}{4}} ou encore 9,5T9,75{9,5 \leqslant T \leqslant 9,75}.

    La probabilité de cet événement est :

    p(9,5T9,75)=9,759,510,259,5=0,250,75=130,3333 p(9,5 \leqslant T \leqslant 9,75)=\dfrac{9,75 - 9,5}{10,25 - 9,5}=\dfrac{0,25}{0,75}=\dfrac{1}{3} \approx 0,3333\ 10410^{ - 4} près).

  3. Comme TT suit la loi uniforme sur l'intervalle [9,5 ; 10,25][9,5~;~10,25] :

    E(T)=9,5+10,252=19,752=9,875E(T)=\dfrac{9,5+10,25}{2}=\dfrac{19,75}{2}=9,875.

    L'espérance mathématique de TT représente l'heure d'arrivée moyenne de Luc.

    0,8750,875 heure correspond à 0,875×60=52,50,875 \times 60 = 52,5 minutes.

    En moyenne, Luc arrivera à son cours à 9h 52min 30s.

    À retenir

    L'espérance mathématique de la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b][a~;~b] est :

    E(X)=a+b2. E(X) = \dfrac{a+b}{2}.