Exercice corrigéExercice 4 (3 points)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Dans le cadre d'essais cliniques, on souhaite tester l'efficacité d'un nouveau médicament destiné à lutter contre l'excès de cholestérol.
L'expérimentation s'effectue sur un échantillon de patients présentant un excès de cholestérol dans le sang.
Lors de cet essai clinique, 70% des patients reçoivent le médicament tandis que les 30% restant reçoivent un placebo (comprimé sans principe actif).
À la fin de la période de test, le taux de cholestérol de chaque patient est mesuré et comparé au taux initial.
On observe une baisse significative du taux de cholestérol chez 85% des personnes ayant pris le médicament tandis que chez les personnes ayant pris le placebo, cette baisse n'est constatée que dans 20% des cas.
Le laboratoire pharmaceutique ayant réalisé cette étude affirme que « plus de 90% des patients chez qui une baisse significative a été constatée avaient pris le médicament ».
Que pensez-vous de cette affirmation ?
Justifier votre réponse.
Corrigé
Choisissons un patient au hasard et notons :
M : l'événement « le patient a pris le médicament » ;
\overline{M} : l'événement « le patient a pris le placebo » ;
B : l'événement « le taux de cholestérol du patient a baissé » ;
\overline{B} : l'événement « le taux de cholestérol du patient n'a pas baissé ».
Les données de l'énoncé permettent de construire l'arbre suivant :
Pour juger la validité de l'affirmation du laboratoire, il faut évaluer la probabilité qu'un patient ait pris le médicament, sachant que son taux de cholestérol a diminué.
Il faut calculer p_B(M).
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
p_B(M)=\dfrac{p(B \cap M)}{p(B)}.
Or :
p(B \cap M) = p(M) \times p_M(B)=0,7 \times 0,85 = 0,595 ;
et, d'après la formule des probabilités totales :
p(B)=p(M) \times p_M(B) + p(\overline{M}) p_{\overline{M}}(B) = 0,7 \times 0,85 +0,3 \times 0,2=0,655.
Par conséquent :
p_B(M)=\dfrac{0,595}{0,655} \approx 0,91 = 91\%.
Cette probabilité est supérieure à 90% donc l'affirmation du laboratoire pharmaceutique est exacte.
