Exercice corrigéExercice 3 (4 points)
Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d'un tarif réduit.
Le directeur de la salle a constaté que :
30% des spectateurs bénéficient du tarif réduit (les 70% restant payant plein tarif) ;
45% des spectateurs payant plein tarif et 40% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film A ;
30% des spectateurs payant plein tarif et 37% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film B ;
25% des spectateurs payant plein tarif et 23% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film C.
On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :
R : l'événement « le spectateur bénéficie du tarif réduit » ;
A : l'événement « le spectateur a été voir le film A » ;
B : l'événement « le spectateur a été voir le film B » ;
C : l'événement « le spectateur a été voir le film C ».
Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d'aller voir le film A est égale à 0,435.
On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu'il bénéficie du tarif réduit ?
On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité p(X \geqslant 1). Interpréter cette probabilité dans le cadre de l'énoncé.
Corrigé
La situation peut être modélisée par l'arbre pondéré ci-après :
À retenir
Le total des probabilités figurant sur l'ensemble des branches partant d'un même nœud est toujours égal à 1.
La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est p(A).
D'après la formule des probabilités totales :
p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R})
\phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A)
\phantom{p(A)}=0,3 \times 0,4 + 0,7 \times 0,45 = 0,435.À retenir
Formule des probabilités totales :
Si les événements B_1, B_2, \cdots , B_n forment une partition de l'univers (c'est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement A :
p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2)+\cdots+p(A\cap B_n).
Un cas particulier très fréquent, dû au fait que B et \overline{B} forment une partition de l'univers, donne :
p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}).La probabilité demandée est p_A(R).
En pratique
Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l'énoncé.
Dans le cas présent, on sait que l'événement A est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l'événement R. On recherche donc p_A(R).
Attention
Ne pas confondre :
p(A\cap R) : probabilité que A et R se réalisent (alors que l'on n'a, a priori, aucune information concernant la réalisation de A ou de R) ;
p_A(R) : probabilité que R se réalise alors que l'on sait que A est réalisé.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0,3 \times 0,4}{0,435}=\dfrac{0,12}{0,435} \approx 0,276\ (à 10^{-3} près).
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres {n=3} et {p=0,435}.
En effet :
on assimile l'expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;
pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
succès : le spectateur vient d'aller voir le film A (probabilité p=0,435) ;
échec : le spectateur ne vient pas d'aller voir le film A.
la variable aléatoire X comptabilise le nombre de succès.
L'événement contraire de (X \geqslant 1) est (X<1) c'est à dire (X=0).
Attention
L'événement contraire de (X \geqslant a) est (X < a) et non (X \leqslant a).
Comme X suit une loi binomiale :
p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0,435^0 \times 0,565^{3} = 0,565^{3}.
Par conséquent :
p(X \geqslant 1)=1-p(X=0)=1-0,565^{3} \approx 0,820\ (à 10^{-3} près).
