Exercice corrigéExercice 4 (5 points)
Un constructeur fabrique des tablettes informatiques. Le coût de production est 250 euros par unité.
Les tablettes sont garanties contre un défaut de fonctionnement de l'écran ou du disque dur.
Cette garantie permet à l'acheteur, en cas de panne, d'effectuer les réparations suivantes aux frais du constructeur :
réparation de l'écran (coût pour le constructeur : 50 euros) ;
réparation du disque dur (coût pour le constructeur : 30 euros).
Une étude statistique a montré que :
3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.
Partie A
Recopier et compléter le tableau ci-après à l'aide des données de l'énoncé.
\ Disque dur OK Disque dur défectueux Total Écran OK \cdots \cdots \cdots Écran défectueux \cdots \cdots \cdots Total \cdots 3% 100 % Le prix de revient d'une tablette est égal à son coût de production augmenté du coût de réparation éventuel. On note X la variable aléatoire correspondant au prix de revient d'une tablette.
Établir la loi de probabilité de X.Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
L'entreprise vend chaque tablette 400 euros. Quel sera son bénéfice mensuel moyen si elle vend 750 tablettes par mois ?
Partie B
Un établissement scolaire achète 50 tablettes à ce constructeur.
On suppose que l'on peut assimiler cet achat à un tirage aléatoire de 50 tablettes avec remise, les tirages étant supposés indépendants.
On rappelle que 95% des tablettes ne présentent aucun défaut couvert par la garantie constructeur.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de tablettes achetées par l'établissement présentant un défaut couvert par la garantie constructeur.
Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Quelle est la probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut couvert par la garantie constructeur ?
Quelle est l'espérance mathématique de Y ? Interpréter ce résultat.
Corrigé
Partie A
On place dans le tableau les données fournies par l'énoncé :
3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.
\ Disque dur OK Disque dur défectueux Total Écran OK 95% \cdots \cdots Écran défectueux \cdots \cdots 4% Total \cdots 3% 100 % On complète ensuite les totaux partiels afin que le total global soit égal à 100% :
\ Disque dur OK Disque dur défectueux Total Écran OK 95% \cdots 96% Écran défectueux \cdots \cdots 4% Total 97% 3% 100 % Les données restantes peuvent être calculées simplement à partir des totaux :
\ Disque dur OK Disque dur défectueux Total Écran OK 95% 1% 96% Écran défectueux 2% 2% 4% Total 97% 3% 100 % La variable aléatoire X peut prendre quatre valeurs distinctes ; le tableau de la question précédente fournit la probabilité de chacune d'elle :
si la tablette ne présente aucun défaut : {X=250} (probabilité : 0,95) ;
si la tablette présente uniquement un défaut de disque dur : {X=250+30=280} (probabilité : 0,01) ;
si la tablette présente uniquement un défaut d'écran :{X=250+50=300} (probabilité : 0,02) ;
si la tablette présente à la fois un défaut de disque dur et un défaut d'écran : {X=250+50+30=330} (probabilité : 0,02).
On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
x_i 250 280 300 330 p(X=x_i) 0,95 0,01 0,02 0,02 À retenir
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est un tableau qui recense les différentes valeurs x_1, x_2, \cdots, x_n prises par X et les probabilités des événements {(X=x_1), (X=x_2), \cdots, (X=x_n)}
L'espérance mathématique de X est :
E(X)=250 \times 0,95 + 280 \times 0,01 + 300 \times 0,02 + 330 \times 0,02 = 252,9.
À retenir
Si X est une variable aléatoire qui prend valeurs x_1, x_2, \cdots, x_n avec les probabilités respectives p_1, p_2, \cdots, p_n, l'espérance mathématique de X est :
E(X)=p_1x_1+p_2x_2+ \cdots +p_nx_nD'après la question précédente, le prix de revient moyen d'une tablette est de 252,9 euros.
Si chaque tablette est vendu 400 euros, le bénéfice moyen par tablette vendue sera de 400 -252,9 = 147,1 euros.
Pour une vente mensuelle de 750 tablettes, l'entreprise fera un bénéfice mensuel moyen de 750 \times 147,1 =110\ 325 euros.
Partie B
La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0,05 puisque :
on assimile l'expérience à la répétition de 50 tirages aléatoires identiques et indépendants ;
chaque tirage possède deux issues :
succès, correspondant au tirage d'une tablette défectueuse (probabilité p=0,05) ;
échec, correspondant au tirage d'une tablette fonctionnant correctement ;
la variable aléatoire Y comptabilise le nombre de succès.
l'expérience aléatoire est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;
chaque épreuve de Bernoulli possède deux issues :
succès, de probabilité p;
échec, de probabilité 1-p ;
la variable aléatoire X comptabilise le nombre de succès.
La probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut est :
P(Y=0)=\begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0,05^0 \times 0,95^{50} = 0,95^{50}
P(Y=0) \approx 0,077 (arrondi au millième).
À retenir
Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale \mathscr B \left(n ; p\right), pour tout entier naturel k compris entre 0 et n, la probabilité que X prenne la valeur k est :
P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}L'espérance mathématique de Y est :
E(Y)=np=50 \times 0,05=2,5.
En moyenne, parmi les 50 tablettes achetées par l'école, 2,5 tablettes présenteront un défaut.
À retenir
Pour une variable aléatoire X qui une loi binomiale \mathscr B \left(n ; p\right), l'espérance mathématique vaut :
E(X)=np
Bien rédiger
Pour montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale \mathscr{B}(n~;~p) de paramètres n et p, on précise que :
