Exercice corrigéExercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}).
Les points A, B et C ont pour affixes respectives a = -4,\: b = 2 et c = 4.
On considère les trois points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime d'affixes respectives a ^\prime = ja, b ^\prime = jb et c ^\prime = jc où j est le nombre complexe -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.
En déduire les formes algébriques et exponentielles de a ^\prime , b ^\prime et c ^\prime .
Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
Placer les points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime sur ce graphique.
Montrer que les points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime sont alignés.
On note M le milieu du segment [A ^\prime C], N le milieu du segment [C ^\prime C] et P le milieu du segment [\text{C} ^\prime \text{A}].
Démontrer que le triangle MNP est isocèle.
ANNEXE
À compléter et à remettre avec la copie
Corrigé
j=-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\left| j \right| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1
\theta est un argument de j si et seulement si \cos \theta = -\dfrac{1}{2} et \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Donc \dfrac{2\pi}{3} est un argument de j.La forme trigonométrique de j est :
j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)et sa forme exponentielle :
j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}.
La forme algébrique de a ^\prime est :
a ^\prime =aj=-4j=2-2\text{i}\sqrt{3}.
Par ailleurs :
a ^\prime =-4j= -4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}Toutefois -4 étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de a ^\prime .
Pour obtenir la forme exponentielle de a ^\prime on utilise le fait que -1=\text{e}^{\text{i}\pi} ; par conséquent :
a ^\prime =-4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right)
\phantom{a ^\prime }=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}
\phantom{a ^\prime }=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) }.La forme exponentielle de a ^\prime est donc :
a ^\prime =4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}}.
La forme algébrique de b ^\prime est :
b ^\prime = bj=2j=-1+\text{i}\sqrt{3}et sa forme exponentielle :
b ^\prime =2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}.
Enfin, la forme algébrique de c ^\prime est :
c ^\prime = cj=4j=-2+2\text{i}\sqrt{3}et sa forme exponentielle :
c ^\prime =4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}.
Voir figure ci-après.
L'affixe du vecteur \overrightarrow{A ^\prime B ^\prime } est :
b ^\prime -a ^\prime =2j-(-4j)=6j.
L'affixe du vecteur \overrightarrow{B ^\prime C ^\prime } est :
c ^\prime -b ^\prime =4j-2j=2j.
Par conséquent \overrightarrow{A ^\prime B ^\prime } =3\overrightarrow{B ^\prime C ^\prime }.
Les vecteurs \overrightarrow{A ^\prime B ^\prime } et \overrightarrow{B ^\prime C ^\prime } sont colinéaires donc les points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime sont alignés.
L'affixe de M est :
m=\dfrac{a ^\prime +c}{2}=3-\text{i}\sqrt{3}L'affixe de N est :
n=\dfrac{c ^\prime +c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3}L'affixe de P est :
p=\dfrac{c ^\prime +a}{2}=-3+\text{i}\sqrt{3}Montrons que MN=PN
MN=\left|m-n \right| = \left|2-2\text{i}\sqrt{3} \right|
\phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4
PN=\left|n-p \right| =\left|4 \right| = 4Le triangle MNP est donc isocèle en N.
