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Tle Expert

facileExercice corrigé

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2018

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}).

Les points A, B et C ont pour affixes respectives a = -4,\: b = 2 et c = 4.

  1. On considère les trois points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime d'affixes respectives a ^\prime = ja, b ^\prime = jb et c ^\prime = jc où j est le nombre complexe -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

    1. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.

      En déduire les formes algébriques et exponentielles de a ^\prime , b ^\prime et c ^\prime .

    2. Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.

      Placer les points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime sur ce graphique.

  2. Montrer que les points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime sont alignés.

  3. On note M le milieu du segment [A ^\prime C], N le milieu du segment [C ^\prime C] et P le milieu du segment [\text{C} ^\prime \text{A}].

    Démontrer que le triangle MNP est isocèle.

ANNEXE

À compléter et à remettre avec la copie

Corrigé

    1. j=-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}
      \left| j \right| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1
      \theta est un argument de j si et seulement si \cos \theta = -\dfrac{1}{2} et \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Donc \dfrac{2\pi}{3} est un argument de j.

      La forme trigonométrique de j est :

      j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)

      et sa forme exponentielle :

      j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}.

      La forme algébrique de a ^\prime est :

      a ^\prime =aj=-4j=2-2\text{i}\sqrt{3}.

      Par ailleurs :

      a ^\prime =-4j= -4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}

      Toutefois -4 étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de a ^\prime .

      Pour obtenir la forme exponentielle de a ^\prime on utilise le fait que -1=\text{e}^{\text{i}\pi} ; par conséquent :

      a ^\prime =-4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right)
      \phantom{a ^\prime }=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}
      \phantom{a ^\prime }=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) }.

      La forme exponentielle de a ^\prime est donc :

      a ^\prime =4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}}.

      La forme algébrique de b ^\prime est :

      b ^\prime = bj=2j=-1+\text{i}\sqrt{3}

      et sa forme exponentielle :

      b ^\prime =2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}.

      Enfin, la forme algébrique de c ^\prime est :

      c ^\prime = cj=4j=-2+2\text{i}\sqrt{3}

      et sa forme exponentielle :

      c ^\prime =4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}.

    2. Voir figure ci-après.

  1. L'affixe du vecteur \overrightarrow{A ^\prime B ^\prime } est :

    b ^\prime -a ^\prime =2j-(-4j)=6j.

    L'affixe du vecteur \overrightarrow{B ^\prime C ^\prime } est :

    c ^\prime -b ^\prime =4j-2j=2j.

    Par conséquent \overrightarrow{A ^\prime B ^\prime } =3\overrightarrow{B ^\prime C ^\prime }.

    Les vecteurs \overrightarrow{A ^\prime B ^\prime } et \overrightarrow{B ^\prime C ^\prime } sont colinéaires donc les points A ^\prime , B ^\prime et C ^\prime sont alignés.

  2.  

    L'affixe de M est :

    m=\dfrac{a ^\prime +c}{2}=3-\text{i}\sqrt{3}

    L'affixe de N est :

    n=\dfrac{c ^\prime +c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3}

    L'affixe de P est :

    p=\dfrac{c ^\prime +a}{2}=-3+\text{i}\sqrt{3}

    Montrons que MN=PN
    MN=\left|m-n \right| = \left|2-2\text{i}\sqrt{3} \right|
    \phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4
    PN=\left|n-p \right| =\left|4 \right| = 4

    Le triangle MNP est donc isocèle en N.

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Méthodes

  • Ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition

Compléments

  • Fiche de révision BAC : les nombres complexes
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