Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2014

Exercice 3   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right).
Pour tout entier naturel n, on note A_{n} le point d'affixe z_{n} défini par :
z_{0}=1   et   z_{n+1}=\left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}
On définit la suite \left(r_{n}\right) par r_{n}=|z_{n}| pour tout entier naturel n.

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i.
2. 1. Montrer que la suite \left(r_{n}\right) est géométrique de raison \frac{\sqrt{3}}{2}.
   2. En déduire l'expression de r_{n} en fonction de n.
   3. Que dire de la longueur OA_{n} lorsque n tend vers + \infty ?
3. On considère l'algorithme suivant :

   Variables	n entier naturel
   	R réel
   	P réel strictement positif
   Entrée	Demander la valeur de P
   Traitement	R prend la valeur 1
   	n prend la valeur 0
   	Tant que R > P
   	......n prend la valeur n+1
   	......R prend la valeur \frac{\sqrt{3}}{2}R
   	Fin tant que
   Sortie	Afficher n

   1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour P=0,5 ?
   2. Pour P=0,01 on obtient n=33. Quel est le rôle de cet algorithme ?
   3. 1. Démontrer que le triangle OA_{n}A_{n+1} est rectangle en A_{n+1}.
      2. On admet que z_{n}=r_{n}e^{i\frac{n\pi }{6}}.
         Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A_{n} est un point de l'axe des ordonnées.
      3. Compléter la figure ci-dessous, à rendre avec la copie, en représentant les points A_{6}, A_{7}, A_{8} et A_{9}.
         Les traits de construction seront apparents.
         

      Corrigé

      1. Soit r le module de \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i :
         r^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}
         Donc :
         r=\frac{\sqrt{3}}{2}
         \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)
         Si \theta est un argument de \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i :
         cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} et \sin \theta = \frac{1}{2} donc \theta = \frac{\pi }{6} + 2k\pi .
         La forme exponentielle du nombre complexe \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i est donc \frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi }{6}}
      2. 1. z_{n+1}=\left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} donc :
            |z_{n+1}|=\left|\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right|\times \left|z_{n}\right|
            r_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}r_{n}
            La suite \left(r_{n}\right) est donc une suite géométrique de raison q=\frac{\sqrt{3}}{2} et de premier terme r_{0}=|z_{0}|=1.
         2. r_{n}=r_{0}\times q^{n}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}
         3. OA_{n}=r_{n}.
            \left(r_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=\frac{\sqrt{3}}{2}. Comme 0 < q < 1 la suite \left(r_{n}\right) converge vers 0 lorsque n tend vers + \infty .
      3. 1. Voici les valeurs prises par les variables lors de l'exécution pas à pas de l'algorithme pour P=0,5:
            

            n	R	P	condition R > P
            0	1	0,5	Vraie
            1	0,866	0,5	Vraie
            2	0,75	0,5	Vraie
            3	0,6495	0,5	Vraie
            4	0,5625	0,5	Vraie
            5	0,487	0,5	Fausse

            A la fin, l'algorithme affiche la valeur 5.

         2. Cet algorithme affiche la plus petite valeur de n telle que OA_{n} \leqslant P.
      4. 1. OA_{n}=r_{n} , OA_{n+1}=r_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}r_{n} et :
            A_{n}A_{n+1}= | z_{n+1}-z_{n} | = \left| \left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}-z_{n} \right| = \left| \left(-\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) z_{n} \right|
            A_{n}A_{n+1}= \left| \left(-\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| \times r_{n}
            Or :
            \left| \left(-\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| ^{2} = \frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}
            donc \left| \left(-\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| = \frac{1}{2} et A_{n}A_{n+1}=\frac{1}{2}r_{n}
            Finalement :
            OA_{n+1}^{2} + A_{n}A_{n+1}^{2} = \frac{3}{4}r_{n}^{2}+\frac{1}{4}r_{n}^{2} = r_{n}^{2} = OA_{n}^{2}
            Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OA_{n}A_{n+1} est rectangle en A_{n+1}.
         2. z_{n}=r_{n} \left(\cos\frac{n\pi }{6}+i \sin\frac{n\pi }{6}\right)
            Le point A_{n} appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si \cos\frac{n\pi }{6} = 0, c'est à dire \frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi ou n\frac{\pi }{6}=\left(3\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi ou encore \frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2} + k\pi avec k \in \mathbb{Z}
            Or :
            \frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \left(n\pi \right)=3\pi + 6k\pi \Leftrightarrow n= 3 + 6k (avec k \in \mathbb{Z})
            Comme n\geqslant 0, k doit être positif ou nul (donc appartenir à \mathbb{N}).
            Les valeurs de n pour lesquelles A_{n} est un point de l'axe des ordonnées sont donc
            n= 3 + 6k avec k \in \mathbb{N} (soit n = 3, 9, 15, 21, etc.).
         3. 
            Pour la construction (à l'équerre ou au compas) on utilise le fait que les triangles OA_{n}A_{n+1} sont rectangles en A_{n+1}.