Exercice 4 - 5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère les nombres complexes z_n définis, pour tout entier naturel n, par
z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.
On note A_n le point d'affixe z_n dans le repère orthonormé (O~;~\vec{u},\vec{v}) (voir figure en fin de sujet).
L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points A_n.
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- Vérifier que 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}.
- En déduire z_1 et z_2 sous forme exponentielle.
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- Montrer que pour tout entier naturel n,
z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.
- Pour quelles valeurs de n, les points O,~A_0 et A_n sont-ils alignés ?
- Montrer que pour tout entier naturel n,
- Pour tout entier naturel n, on pose d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right|.
- Interpréter géométriquement d_n.
- Calculer d_0.
- Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
z_{n+2}-z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1}-z_n\right).
- En déduire que la suite \left(d_n\right)_{n \geqslant 0} est géométrique puis que pour tout entier naturel n,
d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.
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- Montrer que pour tout entier naturel n,
\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2.
- En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OA_nA_{n+1} est rectangle en A_n.
- Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A_5 sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
- Justifier cette construction.
- Montrer que pour tout entier naturel n,
Corrigé
Solution rédigée par Paki
nombres-complexes-bac-s-nouvelle-caledonie-2016
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