Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Exercice 4 - 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère les nombres complexes z_n définis, pour tout entier naturel n, par

On note A_n le point d'affixe z_n dans le repère orthonormé (O~;~\vec{u},\vec{v}) (voir figure en fin de sujet).
L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points A_n.

1. 1. Vérifier que 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}.
   2. En déduire z_1 et z_2 sous forme exponentielle.
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel n,
      z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.
   2. Pour quelles valeurs de n, les points O,~A_0 et A_n sont-ils alignés ?
3. Pour tout entier naturel n, on pose d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right|.
   1. Interpréter géométriquement d_n.
   2. Calculer d_0.
   3. Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
      z_{n+2}-z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1}-z_n\right).
   4. En déduire que la suite \left(d_n\right)_{n \geqslant 0} est géométrique puis que pour tout entier naturel n,
      d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.
4. 1. Montrer que pour tout entier naturel n,
      \left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OA_nA_{n+1} est rectangle en A_n.
   3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A_5 sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
   4. Justifier cette construction.