Exercice 4 (5 points)

Pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O~;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$.

On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ :

On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

1. 1. Vérifier que :

      $\dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{ - \text{i}\frac{\pi}{6}}.$

   2. En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

   3. Représenter graphiquement les points $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.

2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

      $z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{ - \text{i}\frac{n\pi}{6}}.$

   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$.

      Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$,

      $\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}.$

      En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l'égalité : $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}$.

   2. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $l_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$,  $A_1$,  $A_2$, $\ldots$ , $A_n$.

      On a ainsi : $l_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n - 1}A_n$.

      Démontrer que la suite $\left(l_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.