Exercice corrigéExercice 3 - 5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
- Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue z :z^2-8z+64 = 0.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right).
- On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 4+4\text{i}\sqrt{3},
b = 4-4\text{i}\sqrt{3} et c = 8\text{i}.- Calculer le module et un argument du nombre a.
- Donner la forme exponentielle des nombres a et b.
- Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
- Placer les points A, B et C dans le repère \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right).
- Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
On considère les points A^\prime, B^\prime et C^\prime d'affixes respectives a^\prime = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b^\prime = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} et c^\prime = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.
- Montrer que b^\prime = 8.
- Calculer le module et un argument du nombre a^\prime.
- Pour la suite on admet que a^\prime = -4+4\text{i}\sqrt{3} et c^\prime =-4\sqrt{3}+4\text{i}.
On admet que si M et N sont deux points du plan d'affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe \dfrac{m+n}{2} et la longueur MN est égale à |n-m|.- On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A^\prime B], [B^\prime C] et [C^\prime A].
Calculer r et s. On admet que t = 2-2\sqrt{3}+\text{i}\left(2+2\sqrt{3}\right). - Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?
Justifier ce résultat.
- On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A^\prime B], [B^\prime C] et [C^\prime A].
Corrigé
- Le discriminant de l'équation (E) est :
\Delta = (-8)^2-4 \times 64 = 64-4 \times 64=-3 \times 64
\Delta est strictement négatif donc l'équation (E) admet deux racines complexes conjuguées :
z_1=\frac{8-8i\sqrt{3}}{2}=4-4i\sqrt{3}
z_2=\overline{z_1}=4+4i\sqrt{3} - |a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8
Soit \theta un argument de a :
\cos \theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
\sin \theta=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}
donc \theta = \frac{\pi}{3} (modulo 2\pi). - La forme exponentielle de a est a=8 e^{i \frac{\pi}{3}}.
b étant le conjugué de a, il a le même module et des arguments opposés.
b=\overline{a}=8 e^{-i \frac{\pi}{3}} - OA=|a|=8
OB=|b|=8
OC=|c|=|8i|=8|i|=8
Les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 8. -
- |a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8
- b^{\prime}=b e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{-i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{-i \frac{\pi}{3}+i \frac{\pi}{3}}=8 e^{0i}=8
- a^{\prime}=a e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{2i \frac{\pi}{3}}
Le module de a^{\prime} est 8 et un de ses arguments est \frac{2\pi}{3}
- R étant le milieu du segment [A^{\prime}B] :
r=\frac{a^{\prime}+b}{2}=\frac{-4+4\sqrt{3}+4-4\sqrt{3}}{2}=0De même, S est le milieu du segment [B^{\prime}C] donc :
s=\frac{b^{\prime}+c}{2}=\frac{8+8i}{2}=4+4i - D'après la figure ci-dessous, le triangle RST semble équilatéral.
Montrons que c'est bien le cas.
RS=|s-r|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.ST=|t-s|=\left|-2-2\sqrt{3}+i\left(-2+2\sqrt{3}\right)\right|
ST=\sqrt{\left(-2-2\sqrt{3}\right)^2+\left(-2+2\sqrt{3}\right)^2}
ST=\sqrt{4+8\sqrt{3}+12+4-8\sqrt{3}+12}
ST=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.RT=|t-r| = \left| 2-2\sqrt{3}+i\left(2+2\sqrt{3}\right)\right|
RT=\sqrt{\left(2-2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2}
RT=\sqrt{4-8\sqrt{3}+12+4+8\sqrt{3}+12}
RT=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.Les trois côtés sont égaux donc RST est un triangle équilatéral.
- R étant le milieu du segment [A^{\prime}B] :
