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Terminale

moyenExercice corrigé

Nombres complexes - Bac S Métropole 2015

Exercice 3 - 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

  1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue z :
    z^2-8z+64 = 0.

    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right).

  2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 4+4\text{i}\sqrt{3},
    b = 4-4\text{i}\sqrt{3} et c = 8\text{i}.

    1. Calculer le module et un argument du nombre a.
    2. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.
    3. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
    4. Placer les points A, B et C dans le repère \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right).
  3. Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

    On considère les points A^\prime, B^\prime et C^\prime d'affixes respectives a^\prime = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b^\prime = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} et c^\prime = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.

    1. Montrer que b^\prime = 8.
    2. Calculer le module et un argument du nombre a^\prime.
  4. Pour la suite on admet que a^\prime = -4+4\text{i}\sqrt{3} et c^\prime =-4\sqrt{3}+4\text{i}.
    On admet que si M et N sont deux points du plan d'affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe \dfrac{m+n}{2} et la longueur MN est égale à |n-m|.

    1. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A^\prime B], [B^\prime C] et [C^\prime A].
      Calculer r et s. On admet que t = 2-2\sqrt{3}+\text{i}\left(2+2\sqrt{3}\right).
    2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?
      Justifier ce résultat.

Corrigé

  1. Le discriminant de l'équation (E) est :
    \Delta = (-8)^2-4 \times 64 = 64-4 \times 64=-3 \times 64
    \Delta est strictement négatif donc l'équation (E) admet deux racines complexes conjuguées :
    z_1=\frac{8-8i\sqrt{3}}{2}=4-4i\sqrt{3}
    z_2=\overline{z_1}=4+4i\sqrt{3}
    1. |a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8
      Soit \theta un argument de a :
      \cos \theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
      \sin \theta=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}
      donc \theta = \frac{\pi}{3} (modulo 2\pi).
    2. La forme exponentielle de a est a=8 e^{i \frac{\pi}{3}}.
      b étant le conjugué de a, il a le même module et des arguments opposés.
      b=\overline{a}=8 e^{-i \frac{\pi}{3}}
    3. OA=|a|=8
      OB=|b|=8
      OC=|c|=|8i|=8|i|=8
      Les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 8.
    4.  
      nombres-complexes-bac-s-metropole-2015-1
    1. b^{\prime}=b e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{-i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{-i \frac{\pi}{3}+i \frac{\pi}{3}}=8 e^{0i}=8
    2. a^{\prime}=a e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{2i \frac{\pi}{3}}
      Le module de a^{\prime} est 8 et un de ses arguments est \frac{2\pi}{3}
    1. R étant le milieu du segment [A^{\prime}B] :
      r=\frac{a^{\prime}+b}{2}=\frac{-4+4\sqrt{3}+4-4\sqrt{3}}{2}=0

      De même, S est le milieu du segment [B^{\prime}C] donc :
      s=\frac{b^{\prime}+c}{2}=\frac{8+8i}{2}=4+4i

    2. D'après la figure ci-dessous, le triangle RST semble équilatéral.

      nombres-complexes-bac-s-metropole-2015-2

      Montrons que c'est bien le cas.
      RS=|s-r|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.

      ST=|t-s|=\left|-2-2\sqrt{3}+i\left(-2+2\sqrt{3}\right)\right|
      ST=\sqrt{\left(-2-2\sqrt{3}\right)^2+\left(-2+2\sqrt{3}\right)^2}
      ST=\sqrt{4+8\sqrt{3}+12+4-8\sqrt{3}+12}
      ST=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.

      RT=|t-r| = \left| 2-2\sqrt{3}+i\left(2+2\sqrt{3}\right)\right|
      RT=\sqrt{\left(2-2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2}
      RT=\sqrt{4-8\sqrt{3}+12+4+8\sqrt{3}+12}
      RT=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.

      Les trois côtés sont égaux donc RST est un triangle équilatéral.

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