Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Tle Expert

moyenExercice corrigé

Nombres Complexes - Bac S Métropole 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats
On désigne par (E) l'équation

z^{4}+4z^{2}+16=0

d'inconnue complexe z.

  1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation Z^{2} +4Z+16=0.
    Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
  2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à \frac{\pi }{3}.
    Calculer a^{2} sous forme algébrique.
    En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation z^{2} =-2+2i\sqrt{3}. On écrira les solutions sous forme algébrique.
  3. Restitution organisée de connaissances
    On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z=x+iy où x \in \mathbb{R} et y \in R, le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z=x-i y.
    Démontrer que :
    ⋄  Pour tous nombres complexes z_{1} et z_{2}, \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}}.
    ⋄  Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}.
  4. Démontrer que si z est une solution de l'équation (E) alors son conjugué \overline{z} est également une solution de (E).
    En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Corrigé

  1. Le discriminant vaut :
    \Delta = 4^{2}-4\times16\times1=-48
    Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
    Z_{1}=\frac{-4-i\sqrt{48}}{2} = -2-2\sqrt{3}i
    Z_{2}=\frac{-4+i\sqrt{48}}{2} = -2+2\sqrt{3}i
    |Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4
    Si \theta est un argument de Z_{1} :
    \cos \theta =-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} et \sin \theta =-\frac{2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2} donc \theta = \frac{-2i\pi }{3} (mod. 2\pi )
    La forme exponentielle de Z_{1} est donc :
    Z_{1}=4e^{-2i\frac{\pi }{3}}
    Z_{2} est le conjugué de Z_{1} donc :
    Z_{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}
  2. a=2e^{i\frac{\pi }{3}} donc
    a^{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}=Z_{2}=-2+2\sqrt{3}i
    L'équation z^{2} =-2+2i\sqrt{3} est donc identique à z^{2}=a^{2} dont les solutions sont a=1+i\sqrt{3} et -a=-1-i\sqrt{3}.
  3. Posons z_{1}=x_{1}+iy_{1} et z_{2}=x_{2}+iy_{2}
    z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i
    Donc
    \overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i
    Par ailleurs :
    \overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1}-iy_{1}\right)\left(x_{2}-iy_{2}\right) = x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} + \left(-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}}
    La proposition «Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} » se montre par récurrence.
    ♦ Elle est vraie au rang 1 car \overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right)
    ♦ Si on suppose qu'elle est vraie au rang n, c'est à dire que \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} alors :
    \overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z}
    Or d'après ce qui précède : \overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} donc :
    \overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z}
    \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z} (hypothèse de récurrence)
    \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1}
    ce qui montre la proposition par récurrence.
  4. Si z est une solution de (E) alors z^{4}+4z^{2}+16=0 donc \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0.
    Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16 donc
    \overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0 et \overline{z} est également solution de (E).
    D'après les questions 1. et 2., a et -a sont solutions de (E).
    D'après ce qui précède, \overline{a} et -\overline{a} sont aussi solutions de (E).
    Les quatre solutions de (E) sont donc:
    a=1+i\sqrt{3}
    -a=-1-i\sqrt{3}
    \overline{a}=1-i\sqrt{3}
    -\overline{a}=-1+i\sqrt{3}
  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Nombres complexes et algèbre

Exercices

  • Probabilités - Bac S Pondichéry 2017
  • facileNombres complexes - Forme algébrique
  • facileNombres complexes - Bac S Pondichéry 2013
  • facileNombres complexes - Bac S Pondichéry 2017
  • facileNombres complexes – Bac S Pondichéry 2018
  • facileNombres complexes - Equation du second degré
  • facileNombres complexes - Équation et puissances
  • facileNombres complexes - Lieux géométriques - 1
  • moyenNombres complexes - Calcul sinus et cosinus pi/12
  • moyenNombres complexes – Bac S Liban 2018
  • moyenNombres complexes - Bac S Métropole 2015
  • moyenNombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016
  • moyenNombres complexes - Bac S Pondichéry 2014
  • moyenNombres complexes – Bac S Pondichéry 2016
  • moyenQCM Nombres complexes - Bac S Centres étrangers 2009
  • moyenSuites et complexes - Bac S Antilles Guyane 2013
  • difficileNombres complexes - Lieux géométriques - 2
  • difficileNombres complexes et probabilités

Méthodes

  • Ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition

Compléments

  • Fiche de révision BAC : les nombres complexes
  • Similitudes et nombres complexes

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok