Exercice corrigéExercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
On désigne par (E) l'équation
z^{4}+4z^{2}+16=0
d'inconnue complexe z.
- Résoudre dans \mathbb{C} l'équation Z^{2} +4Z+16=0.
Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. - On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à \frac{\pi }{3}.
Calculer a^{2} sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation z^{2} =-2+2i\sqrt{3}. On écrira les solutions sous forme algébrique. - Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z=x+iy où x \in \mathbb{R} et y \in R, le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z=x-i y.
Démontrer que :
⋄ Pour tous nombres complexes z_{1} et z_{2}, \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}}.
⋄ Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}. - Démontrer que si z est une solution de l'équation (E) alors son conjugué \overline{z} est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
Corrigé
- Le discriminant vaut :
\Delta = 4^{2}-4\times16\times1=-48
Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
Z_{1}=\frac{-4-i\sqrt{48}}{2} = -2-2\sqrt{3}i
Z_{2}=\frac{-4+i\sqrt{48}}{2} = -2+2\sqrt{3}i
|Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4
Si \theta est un argument de Z_{1} :
\cos \theta =-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} et \sin \theta =-\frac{2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2} donc \theta = \frac{-2i\pi }{3} (mod. 2\pi )
La forme exponentielle de Z_{1} est donc :
Z_{1}=4e^{-2i\frac{\pi }{3}}
Z_{2} est le conjugué de Z_{1} donc :
Z_{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}} - a=2e^{i\frac{\pi }{3}} donc
a^{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}=Z_{2}=-2+2\sqrt{3}i
L'équation z^{2} =-2+2i\sqrt{3} est donc identique à z^{2}=a^{2} dont les solutions sont a=1+i\sqrt{3} et -a=-1-i\sqrt{3}. - Posons z_{1}=x_{1}+iy_{1} et z_{2}=x_{2}+iy_{2}
z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i
Donc
\overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i
Par ailleurs :
\overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1}-iy_{1}\right)\left(x_{2}-iy_{2}\right) = x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} + \left(-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}}
La proposition «Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} » se montre par récurrence.
♦ Elle est vraie au rang 1 car \overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right)
♦ Si on suppose qu'elle est vraie au rang n, c'est à dire que \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} alors :
\overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z}
Or d'après ce qui précède : \overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} donc :
\overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z}
\overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z} (hypothèse de récurrence)
\overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1}
ce qui montre la proposition par récurrence. - Si z est une solution de (E) alors z^{4}+4z^{2}+16=0 donc \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0.
Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16 donc
\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0 et \overline{z} est également solution de (E).
D'après les questions 1. et 2., a et -a sont solutions de (E).
D'après ce qui précède, \overline{a} et -\overline{a} sont aussi solutions de (E).
Les quatre solutions de (E) sont donc:
a=1+i\sqrt{3}
-a=-1-i\sqrt{3}
\overline{a}=1-i\sqrt{3}
-\overline{a}=-1+i\sqrt{3}
