Exercice corrigéExercice 4
4 points-Commun à tous les candidats
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à \frac{1}{3}.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
- On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
- Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
- Quelle est son espérance ?
- Calculer P\left(X=2\right).
- On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants:
•ﾠﾠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•ﾠﾠ A : « obtenir exactement deux 6 ».- Calculer la probabilité des événements suivants :
•ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
•ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité). - En déduire que: p\left(A\right)=\frac{7}{48}.
- Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
- Calculer la probabilité des événements suivants :
- On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note B_{n} l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».- Déterminer, en fonction de n, la probabilité p_{n} de l'événement B_{n}.
- Calculer la limite de la suite \left(p_{n}\right). Commenter ce résultat.
Corrigé
- La variable aléatoire X suit une loi binômiale de paramètres n=3 et p=\frac{1}{6}
- E\left(X\right)=np=3\times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}
- P\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{6}\right)^{2}\times \frac{5}{6}=3\times \frac{5}{216}=\frac{5}{72}.
- L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est D \cap A :
p\left(D \cap A\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(A\right)
La probabilité p_{D}\left(A\right) est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré; c'est à dire p_{D}(A)=p(X=2)=\frac{5}{72} d'après la première question donc :
p\left(D \cap A\right)=\frac{1}{2}\times \frac{5}{72}=\frac{5}{144}
L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est \overline{D} \cap A
p\left(\overline{D} \cap A\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(A\right)
La probabilité p_{\overline{D}}\left(A\right) correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :
p_{\overline{D}}\left(A\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}
Donc :
p\left(\overline{D} \cap A\right)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{9}=\frac{1}{9}
- D'après le théorème des probabilités totales :
p\left(A\right)=p\left(\overline{D} \cap A\right)+p\left(D \cap A\right)=\frac{1}{9}+\frac{5}{144}=\frac{16}{144}+\frac{5}{144}=\frac{21}{144}=\frac{7}{48} - Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :
p_{A}\left(\overline{D}\right)=\frac{p\left(\overline{D} \cap A\right)}{p\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{7}{48}}=\frac{1}{9}\times \frac{48}{7}=\frac{16}{21}
- L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est D \cap A :
- L'évènement \overline{B_{n}} contraire de B_{n} est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces n lancers successifs ».
p\left(\overline{B_{n}}\right)=p\left(\overline{B_{n}} \cap D\right)+p\left(\overline{B_{n}} \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(\overline{D}\right)
p\left(\overline{B_{n}}\right)=\frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n}+\frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n}
Donc
p_{n}=1-p\left(\overline{B_{n}}\right)=1-\frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n}-\frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n} - Comme \frac{5}{6} < 1 et \frac{2}{3} < 1:
\lim\limits_{n\rightarrow \infty } p_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1-\frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n}-\frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n}=1.
Si on lance le dé "un très grand nombre de fois", on est "pratiquement assuré" d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.
- L'évènement \overline{B_{n}} contraire de B_{n} est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces n lancers successifs ».
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