Exercice 3
Commun à tous les candidats
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
- Le joueur lance une fléchette.
On note p_{0} la probabilité d'obtenir 0 point.
On note p_{3} la probabilité d'obtenir 3 points.
On note p_{5} la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc p_{0}+p_{3}+p_{5}=1. Sachant que p_{5}=\frac{1}{2}p_{3} et que p_{5}=\frac{1}{3}p_{0} déterminer les valeurs de p_{0}, p_{3} et p_{5}· - Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note G_{2} l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G_{3} l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note P l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note p\left(A\right) la probabilité d'un évènement A.- Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p\left(G_{2}\right)=\frac{5}{36}.
On admettra dans la suite que p\left(G_{3}\right)=\frac{7}{36} - En déduire p \left(P\right).
- Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p\left(G_{2}\right)=\frac{5}{36}.
- Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
- Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : -2, 1 et 3.- Donner la loi de probabilité de X.
- Déterminer l'espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Corrigé
- p_{0}+p_{3}+p_{5}=3p_{5}+2p_{5}+p_{5}=6p_{5}=1
Par conséquent :
p_{5}=\frac{1}{6}, p_{3}=2p_{5}=\frac{1}{3}, p_{0}=2p_{5}=\frac{1}{2}. -
D'après l'arbre ci-dessus :
p\left(G_{2}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}=\frac{5}{36}.- Les évènements P, G_{2} et G_{3} sont incompatibles et forment une partition de l'univers. Donc p\left(P\right)+p\left(G_{2}\right)+p\left(G_{3}\right)=1.
Ce qui donne :
p\left(P\right)=1-p\left(G_{2}\right)-p\left(G_{3}\right)=1-\frac{5}{36}-\frac{7}{36}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.
- Si l’on suppose les lancers indépendants, le nombre de gains suit une loi binomiale de paramètres p=\frac{1}{3} et n=6.
La probabilité que le joueur perde toutes les parties est \left(\frac{2}{3}\right)^{6}. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est 1-\left(\frac{2}{3}\right)^{6}=\frac{665}{729}. -
- D'après les questions précédentes :
p\left(X=-2\right)=\frac{2}{3}
p\left(X=1\right)=p\left(G_{3}\right)=\frac{7}{36}
p\left(X=3\right)=p\left(G_{2}\right)=\frac{5}{36} - L'espérance mathématique de X est :
\overline{X}=-2\times \frac{2}{3}+1\times \frac{7}{36}+3\times \frac{5}{36}=-\frac{48}{36}+\frac{7}{36}+\frac{15}{36}=-\frac{26}{36}=-\frac{13}{18}
L'espérance mathématique est négative, donc le jeu n'est pas favorable au joueur.
- D'après les questions précédentes :