Probabilités - Bac S Pondichéry 2011

Exercice 3

Commun à tous les candidats
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.
   On note p_{0} la probabilité d'obtenir 0 point.
   On note p_{3} la probabilité d'obtenir 3 points.
   On note p_{5} la probabilité d'obtenir 5 points.
   On a donc p_{0}+p_{3}+p_{5}=1. Sachant que p_{5}=\frac{1}{2}p_{3} et que p_{5}=\frac{1}{3}p_{0} déterminer les valeurs de p_{0}, p_{3} et p_{5}·
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
   On note G_{2} l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
   On note G_{3} l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
   On note P l'évènement : « le joueur perd la partie ».
   On note p\left(A\right) la probabilité d'un évènement A.
   1. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p\left(G_{2}\right)=\frac{5}{36}.
      On admettra dans la suite que p\left(G_{3}\right)=\frac{7}{36}
   2. En déduire p \left(P\right).
3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
   Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
   On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : -2, 1 et 3.
   1. Donner la loi de probabilité de X.
   2. Déterminer l'espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?