Intégrales Encadrements - Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 4

7 points-Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle \left[a, b\right] avec a < b.
- Si u > 0 sur \left[a, b\right] alors \int_{a}^{b} u\left(x\right)\text{d}x \geqslant 0.
- Pour tous réels \alpha et \beta , \int_{a}^{b} \left[\alpha u\left(x\right)+\beta v\left(x\right)\right] \text{d}x=\alpha \int_{a}^{b} u\left(x\right) \text{d}x+\beta \int_{a}^{b} v\left(x\right) \text{d}x.Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle \left[a, b\right] avec a < b et si, pour tout x de \left[a, b\right], f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) alors \int_{a}^{b} f\left(x\right) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right) \text{d}x.

Partie B

On considère la fonction f définie sur \left[0, +\infty \right[ par : f\left(x\right)=x+\ln\left(1+e^{-x}\right). Sa courbe représentative C ainsi que la droite D d'équation y=x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

1. Montrer que f est croissante et positive sur \left[0 , +\infty \right[.
2. 1. Montrer que la courbe C admet pour asymptote la droite D.
   2. Etudier la position de C par rapport à D.
3. Soit I l'intégrale définie par : I= \int_{0}^{1} \ln\left(1+e^{-x}\right) \text{d}x= \int_{0}^{1} \left[f\left(x\right)-x\right] \text{d}x . On ne cherchera pas à calculer I.
   1. Donner une intérprétation géométrique de I.
   2. Montrer que pour tout réél t \geqslant 0, on a \ln\left(1+t\right) \leqslant t.
      (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur \left[0,+\infty \right[ par g\left(t\right)=\ln\left(1+t\right)-t)
      On admettra que pour tout réel t \geqslant 0, on a \frac{t}{t+1} \leqslant \ln\left(1+t\right).
   3. En déduire que pour tout x de \left[0 , +\infty \right[, on a : \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \leqslant \ln\left(1+e^{-x}\right) \leqslant e^{-x}.
   4. Montrer que \ln\left(\frac{2}{1+e^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1-e^{-1}.
   5. En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
4. On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à C et D.
   On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
   Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.
   Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.