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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intégrales Calcul d'aire - Bac S Métropole 2008

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats Les courbes CfC_{f} et CgC_{g} données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), les fonctions ff et gg définies sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ par : f(x)=lnxf\left(x\right)=\ln x et g(x)=(lnx)2g\left(x\right)=\left(\ln x\right)^{2}.

Fonction

  1. On cherche à déterminer l'aire AA (en unités d'aire) de la partie du plan grisée.

    On note I=∫1elnxdxI=\int_{1}^{e} \ln x \text{d}x et J=∫1e(lnx)2dxJ=\int_{1}^{e} \left(\ln x\right)^{2} \text{d}x.

    1. Vérifier que la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ par F(x)=xlnx−xF\left(x\right)=x\ln x - x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire II.

    2. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J=e−2IJ=e - 2I.

    3. En déduire JJ.

    4. Donner la valeur de AA.

  2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.

    Pour xx appartenant à l'intervalle [1; e], on note M le point de la courbe CfC_{f} d'abscisse xx et N le point de la courbe CgC_{g} de même abscisse.

    Pour quelle valeur de xx, la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Corrigé

    1. Il suffit de dériver la fonction FF sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[:

      F′(x)=lnx+x×1x−1=lnx+1−1=f(x)F^{\prime}\left(x\right)=\ln x+x\times \frac{1}{x} - 1=\ln x+1 - 1=f\left(x\right)

      Donc FF est une primitive de la fonction ff, sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

      Par conséquent :

      I=∫1ef(x)dx=[F(x)]1eI=\int_{1}^{e} f\left(x\right) \text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{1}^{e}

      I=F(e)−F(1)=(elne−e)−(ln1−1)=0−(−1)=1I=F\left(e\right) - F\left(1\right)=\left(e\ln e - e\right) - \left(\ln1 - 1\right)=0 - \left( - 1\right)=1

    2. Sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[, on pose :

      u(x)=(lnx)2u\left(x\right)=\left(\ln x\right)^{2}

      v′(x)=1v^{\prime}\left(x\right)=1

      On a donc :

      u′(x)=2lnxxu^{\prime}\left(x\right)=2\ln \frac{x}{x}

      v(x)=xv\left(x\right)=x.

      D'où:

      J=∫1eu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]1e−∫1eu′(x)v(x)dx J=\int_{1}^{e} u\left(x\right) v^{\prime}\left(x\right) \text{d}x=\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) \text{d}x

      J=[x(lnx)2]1e−∫1e2lnxx×xdxJ=\left[x\left(\ln x\right)^{2}\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e}2\ln \frac{x}{x}\times x \text{d}x

      J=e−0−2∫1elnxdx=e−2IJ=e - 0 - 2\int_{1}^{e}\ln x dx=e - 2I

    3. Comme I=1I=1 :

      J=e−2J=e - 2

    4. Sur [1 ; e], 0⩽ln(x)⩽10\leqslant \ln\left(x\right)\leqslant 1 donc 0⩽lnx⩽(lnx)20\leqslant \ln x\leqslant \left(\ln x\right)^{2}.

      La courbe CfC_{f} est donc située au-dessus de CgC_{g} dans le demi plan d'équation y⩾0y\geqslant 0.

      L'aire A de la partie hachurée s'obtient donc en effectuant la différence J-I :

      A=I−J=1−(e−2)=3−eA=I - J=1 - \left(e - 2\right)=3 - e

  2. Le point M a pour coordonnées (x,f(x))\left(x,f\left(x\right)\right) et le point N (x,g(x))\left(x,g\left(x\right)\right).

    MN=f(x)−g(x)=lnx−(lnx)2f\left(x\right) - g\left(x\right)=\ln x - \left(\ln x\right)^{2}

    La fonction ϕ:x↦lnx−(lnx)2\phi : x\mapsto \ln x - \left(\ln x\right)^{2} est définie et dérivable sur [1 ; e] et :

    ϕ′(x)=1x−2lnxx=1−2lnxx\phi ^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x} - 2\ln \frac{x}{x}=\frac{1 - 2\ln x}{x}

    ϕ′(x)⩾0⇔1−2lnx⩾0⇔lnx⩽12⇔x⩽e12=e\phi ^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 1 - 2\ln x\geqslant 0 \Leftrightarrow \ln x\leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow x\leqslant e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}

    et :

    ϕ(e)=12−14=14\phi \left(\sqrt{e}\right)=\frac{1}{2} - \frac{1}{4}=\frac{1}{4}

    Le tableau de variations de ϕ\phi est :

    Exercice

    La valeur maximale de MN est donc 14\frac{1}{4}

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