Intégrales - Bac S Centres étrangers 2013

Exercice 2   (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle \left[0 ; 1\right] par : g\left(x\right)=1+e^{-x}.
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle \left[0 ; 1\right], g\left(x\right) > 0.
On note \mathscr C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et \mathscr D le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe \mathscr C, d'autre part entre les droites d'équation x=0 et x=1 .
La courbe \mathscr C et le domaine \mathscr D sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine \mathscr D en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l' axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit a un réel tel que 0\leqslant a\leqslant 1.
On note \mathscr A_{1} l'aire du domaine compris entre la courbe \mathscr C, l'axe \left(Ox\right),les droites d'équation x=0 et x =a , puis \mathscr A_{2} celle du domaine compris entre la courbe \mathscr C, l'axe \left(Ox\right) et les droites d'équation x=a et x=1.
\mathscr A_{1} et \mathscr A_{2} sont exprimées en unités d'aire.

1. 1. Démontrer que \mathscr A_{1}=a-e^{-a}+1.
   2. Exprimer \mathscr A_{2} en fonction de a.
2. Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle \left[0 ; 1\right] par : f\left(x\right)=2x-2e^{-x}+\frac{1}{e}.
   1. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle \left[0 ; 1\right]. On précisera les valeurs exactes de f\left(0\right) et f\left(1\right).
   2. Démontrer que la fonction f s'annule une fois et une seule sur l'intervalle \left[0 ; 1\right]. en un réel \alpha . Donner la valeur de \alpha arrondie au centième.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée de réel a pour lequel les aires \mathscr A_{1} et \mathscr A_{2} sont égales.

Partie B

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine \mathscr D en deux domaines de même aire par la droite d'équation y=b. On admet qu'Il existe un unique réel b positif solution.

1. Justifier l'inégalité b < 1+\frac{1}{e}. On pourra utiliser un argument graphique.
2. Déterminer la valeur exacte du réel b.