Intégrales - Bac S Centres étrangers 2013

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ; 1\right]$ par : $g\left(x\right)=1+e^{-x}$ .
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ; 1\right]$ , $g\left(x\right) > 0$ .
On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr D$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr C$ , d'autre part entre les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ .
La courbe $\mathscr C$ et le domaine $\mathscr D$ sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr D$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l' axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$ .
On note $\mathscr A_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr C$ , l'axe $\left(Ox\right)$ ,les droites d'équation $x=0$ et $x =a$ , puis $\mathscr A_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr C$ , l'axe $\left(Ox\right)$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=1$ .
$\mathscr A_{1}$ et $\mathscr A_{2}$ sont exprimées en unités d'aire.

1. Démontrer que $\mathscr A_{1}=a-e^{-a}+1$ .
2. Exprimer $\mathscr A_{2}$ en fonction de $a$ .
Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle \left[0 ; 1\right] par : f\left(x\right)=2x-2e^{-x}+\frac{1}{e}.
1. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 1\right]$ . On précisera les valeurs exactes de $f\left(0\right)$ et $f\left(1\right)$ .
2. Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $\left[0 ; 1\right]$ . en un réel $\alpha$ . Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée de réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr A_{1}$ et $\mathscr A_{2}$ sont égales.

Partie B

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr D$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$ . On admet qu'Il existe un unique réel $b$ positif solution.