Exercice corrigéExercice 5
(3 points) - Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe (ci-dessous).
L'espace est rapporté au repère \left(A~;~ \overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right).
On note \mathscr{P} le plan d'équation x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan \mathscr{P}.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie
Corrigé
La première chose à faire est d'essayer de représenter le plan \mathscr P.
Pour définir un plan, il suffit de trois points non alignés de ce plan.
On pourrait choisir "au hasard" trois points dont les coordonnées vérifient l'équation x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0 mais la construction risquerait d'être alors difficile.
Le plus simple, ici, est de déterminer les points du plan \mathscr P situés sur les axes (AB), (AD) et (AE), c'est à dire les points d'intersection de \mathscr P avec ces axes.
Les points de l'axe (AB) ont une ordonnée et une cote nulles (y=0 et z=0). Le point de cet axe appartenant à \mathscr P vérifie, de plus, l'équation x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0. C'est donc le point de coordonnées (1~;~0~;~0) c'est à dire le point B.
Par un raisonnement similaire, le point d'intersection de \mathscr P avec l'axe (AD) est le point I(0~;~2~;~0) (voir figure ci-dessous).
De même, le point d'intersection de \mathscr P avec l'axe (AE) est le point J(0~;~0~;~3).
Le plan \mathscr P est donc le plan (BIJ).
Il est alors assez simple de tracer la section demandée. On commence par tracer le triangle (BIJ)(qui permet de visualiser le plan \mathscr P).
- l'intersection de \mathscr P et de la face ABFE est le segment [BK] (voir figure ci-dessous)
- l'intersection de \mathscr P et de la face ABCD est le segment [BL] (voir figure ci-dessous)
- il suffit ensuite de tracer les parallèles à (BK) et (BL) passant respectivement par L et K pour terminer la section (car un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles).
La section du cube par le plan \mathscr{P} est donc le parallélogramme BLMK
