Géométrie dans l'espace – Bac S Pondichéry 2016

Corrigé

Partie A

• Les points I, J,C et G sont coplanaires. Pour placer le point L, il suffit de prolonger les droites (IJ) et (GC).
• Les points K et L appartiennent tous deux aux plans IJK et CDH. L'intersection\mathscr{D} de ces plans est donc la droite (LK). Cette droite coupe le côté [DH] en un point P.
• La section du cube par le plan (IJK) a pour côtés [IJ], [JK] et [KP]. Les trois autres côtés s'obtiennent en traçant les parallèles à [IJ], [JK] et [KP]. On obtient ainsi un hexagone régulier IJKPQR.

Partie B

1. Par lecture directe :
   A(0;0;0)
   G(1;1;1)
   I\left(1;0;\frac{1}{2}\right)
   J\left(1;\frac{1}{2};0\right)
   K\left(\frac{1}{2};1;0\right)
2. 1. Pour montrer que le vecteur \overrightarrow{AG} est normal au plan (IJK), il suffit de montrer que \overrightarrow{AG} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{JK}.
      • Les coordonnées de \overrightarrow{IJ} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} et les coordonnées de \overrightarrow{AG} sont \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
        \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AG}=0 \times 1+\frac{1}{2} \times 1-\frac{1}{2} \times 1 = 0
        Donc les vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AG} sont orthogonaux.
      • Les coordonnées de \overrightarrow{JK} sont \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}.
        \overrightarrow{JK}.\overrightarrow{AG}=-\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1 +0 \times 1= 0
        Donc les vecteurs \overrightarrow{JK} et \overrightarrow{AG} sont orthogonaux.

      Le vecteur \overrightarrow{AG} est donc normal au plan (IJK).

   2. Le plan (IJK) admet donc une équation cartésienne de la forme x+y+z+d=0.
      Ce plan passant par I, les coordonnées de I vérifient l'équation.
      Par conséquent :
      1+0+\frac{1}{2}+d=0
      d=-\frac{3}{2}
      Une équation cartésienne du plan (IJK) est donc x+y+z-\frac{3}{2}=0
3. 1. Les coordonnées du point G étant (1;1;1) et A étant l'origine du repère, la relation \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG} entraîne que les coordonnées de M sont (t;t;t).

      Alors :
      MI^2=(1-t)^2+(-t)^2+ \left(\frac{1}{2}-t \right)^2
      \phantom{MI^2}=1-2t+t^2+t^2+\frac{1}{4}-t +t^2
      \phantom{MI^2}= 3t^2-3t+\dfrac{5}{4}

   2. La fonction carrée étant strictement croissante sur \mathbb{R}^+, MI^2 et MI ont des sens de variations identiques.

      MI^2 est un polynôme du second degré en t de coefficients a=3,\ b=-3 et c=\frac{5}{4}.
      a>0 donc MI^2 admet un minimum pour t_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}. Les coordonnées de M sont alors \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right).

      La distance MI est donc minimale au point M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)

4. 1. Pour prouver que le point M appartient au plan (IJK), il suffit de montrer que les coordonnées de M vérifient l'équation du plan (IJK) (trouvée en 2.a.).
      C'est immédiat :
      \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0
   2. Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires ils faut montrer qu'elles sont orthogonales et sécantes.
      • (IM) et (AG) sont sécantes en M puisque, par hypothèse, M est un point du segment [AG]. Par ailleurs, (IM) est incluse dans le plan (IJK) qui est perpendiculaire à (AG) d'après 2.a. donc (IM) et (AG) sont orthogonales.
      • (IM) et (BF) sont sécantes en I.
        Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{BF} sont \overrightarrow{IM}\begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}et \overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
        \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} \times 0 + 0 \times 1=0.
        Donc (IM) et (BF) sont orthogonales.

      La droite (IM) est donc perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).