Géometrie dans l'espace - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 1   (5 points)

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère les points A\left(0 ; 4 ; 1\right), B \left(1 ; 3 ; 0\right), C\left(2 ; -1 ;-2\right) et D \left(7 ;-1 ; 4\right).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit \Delta la droite passant par le point D et de vecteur directeur
   \vec{u} \left(2 ;-1 ; 3\right).
   1. Démontrer que la droite \Delta est orthogonale au plan \left(ABC\right).
   2. En déduire une équation cartésienne du plan \left(ABC\right).
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta .
   4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \Delta et du plan \left(ABC\right).
3. Soit \mathscr P_{1} le plan d'équation x+y+z=0 et \mathscr P_{2} le plan d'équation x+4y+2=0.
   1. Démontrer que les plans \mathscr P_{1} et \mathscr P_{2} sont sécants.
   2. Vérifier que la droite d, intersection des plans \mathscr P_{1} et \mathscr P_{2}, a pour représentation paramétrique
      \left\{ \begin{matrix} x = -4t-2 \\ y = t \\ z = 3t+2 \end{matrix}\right. t \in \mathbb{R}.
   3. La droite d et le plan \left(ABC\right) sont-ils sécants ou parallèles ?