Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête.

Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A~;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AK}\right)$ tel que : $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et

$AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre.

Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante :

• $L$ est le point tel que $\overrightarrow{FL}=\frac23\overrightarrow{FE}$ ;

• $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$ ;

• $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.

1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.

2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.

3. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.

   2. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.

4. Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.

   1. Vérifier que $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $(BDL)$.

   2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est :

      $3x+3y+2z - 18=0.$

   3. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique :

      $\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s\\ z&=&6 \end{array} \right.~~~~s\in\mathbb{R}$

      Calculer les coordonnées du point $M$.

5. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :

   $V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}.$

6. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55° et 60°.
   Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?