Géométrie analytique Cube - Bac S Liban 2009

Exercice 3

4 points-Commun à tous candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par l le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal \left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right).

1. 1. Déterminer les coordonnées des points l et J.
   2. Vérifier que le vecteur \overrightarrow{DJ} est un vecteur normal au plan (BGI).
   3. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
   4. Calculer la distance du point F au plan (BGI).
2. On note (\Delta ) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite (\Delta ).
   2. Montrer que la droite (\Delta ) passe par le centre K de la face ADHE.
   3. Montrer que la droite (\Delta ) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées
      \left(\frac{2}{3}; \frac{1}{6}; \frac{5}{6}\right).
   4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ?