Exercice 2
5 points - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).
On considère les points A(3;4;0) ; B(0;5;0) et C(0;0;5). On note I le milieu du segment [AB].
- Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).
- Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
Quelle est la nature du triangle ABC ? - Soit H le point de coordonnées \left(\frac{15}{19}; \frac{45}{19}; \frac{45}{19}\right).
- Démontrer que les points H, C, I sont alignés.
- Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
- En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
- Calculs d'aire et de volume.
- Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
- Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
- Calculer l'aire du triangle ABC.