Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Terminale

moyenExercice corrigé

Fonction logarithme – Bac S Pondichéry 2016

Exercice 4 - 3 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur ]0~;~14] par

f(x) = 2-\ln\left(\dfrac{x}{2}\right).

La courbe représentative \mathscr{C}_f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :
fonction-logarithme
À tout point M appartenant à \mathscr{C}_f on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

  • L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur \mathscr{C}_f ?
  • L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?
    Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Justifier les réponses.

Corrigé

Notons x l'abscisse du point M.x est positif donc OP=x.

Le point M appartient à la courbe \mathscr C_f; son ordonnée est donc f(x). Comme f est positive sur ]0~;~14], OQ=f(x).

L'aire du rectangle OPMQ est donc :
\mathscr A(x)=OP \times OQ =x \times f(x) = 2x-x\ln \left(\frac{x}{2}\right)

Cette aire n'est pas constante.

La fonction \mathscr A est dérivable sur ]0~;~14] :

\left(\ln \left(\frac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}=\frac{1}{x}
 
\left(x\ln \left(\frac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \ln \left(\frac{x}{2}\right) + x \times \frac{1}{x} = 1 + \ln \left(\frac{x}{2}\right)
 
\mathscr A^{\prime}(x)=2-\left[1 + \ln \left(\frac{x}{2}\right)\right]=1-\ln \left(\frac{x}{2}\right)

Etudions le signe de \mathscr A^{\prime}(x) :

\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ 1-\ln \left(\frac{x}{2}\right) > 0
\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \ln \left(\frac{x}{2}\right) < 1
\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \frac{x}{2} < e (par croissance de la fonction exponentielle)
\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ x < 2e

On démontre de même que \mathscr A^{\prime}(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2e et \mathscr A^{\prime}(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2e.

Par ailleurs :
f(2e)=2-\ln\left(\frac{2e}{2}\right)=2-\ln(e)=2-1=1
et \mathscr A(2e)=2e \times f(2e)=2e

On obtient le tableau de variations suivant :

tableau de variations

D'après ce tableau, l'aire du rectangle OPMQ est maximale au point M de coordonnées (2e~;~f(2e)) c'est à dire M(2e~;~1).

  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Fonction logarithme népérien

Exercices

  • facileSimplification d'expressions avec logarithme népérien
  • moyenEquations avec logarithme ou exponentielle
  • moyen[Bac] Etude d'une fonction avec logarithme (1)
  • moyen[Bac] Etude d'une fonction avec logarithme (2)
  • moyenEtude de fonction et équations - Bac S Amérique du Nord 2008
  • difficilePositions relatives - Bac ES/L Métropole 2015

Quiz

  • facileFonction ln : Propriétés algébriques
  • moyenÉquations / inéquations avec logarithmes

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok