Exercice corrigéExercice 4 - 3 points
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur ]0~;~14] par
La courbe représentative \mathscr{C}_f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :
À tout point M appartenant à \mathscr{C}_f on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.
- L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur \mathscr{C}_f ?
- L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.
Justifier les réponses.
Corrigé
Notons x l'abscisse du point M.x est positif donc OP=x.
Le point M appartient à la courbe \mathscr C_f; son ordonnée est donc f(x). Comme f est positive sur ]0~;~14], OQ=f(x).
L'aire du rectangle OPMQ est donc :
\mathscr A(x)=OP \times OQ =x \times f(x) = 2x-x\ln \left(\frac{x}{2}\right)
Cette aire n'est pas constante.
La fonction \mathscr A est dérivable sur ]0~;~14] :
\left(\ln \left(\frac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}=\frac{1}{x}
\left(x\ln \left(\frac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \ln \left(\frac{x}{2}\right) + x \times \frac{1}{x} = 1 + \ln \left(\frac{x}{2}\right)
\mathscr A^{\prime}(x)=2-\left[1 + \ln \left(\frac{x}{2}\right)\right]=1-\ln \left(\frac{x}{2}\right)
Etudions le signe de \mathscr A^{\prime}(x) :
\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ 1-\ln \left(\frac{x}{2}\right) > 0
\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \ln \left(\frac{x}{2}\right) < 1
\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \frac{x}{2} < e (par croissance de la fonction exponentielle)
\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ x < 2e
On démontre de même que \mathscr A^{\prime}(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2e et \mathscr A^{\prime}(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2e.
Par ailleurs :
f(2e)=2-\ln\left(\frac{2e}{2}\right)=2-\ln(e)=2-1=1
et \mathscr A(2e)=2e \times f(2e)=2e
On obtient le tableau de variations suivant :
D'après ce tableau, l'aire du rectangle OPMQ est maximale au point M de coordonnées (2e~;~f(2e)) c'est à dire M(2e~;~1).
