Exercice corrigéExercice 4 - 3 points
Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur ]0~;~ +\infty[ par
On note \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1.
Quelle est la position relative de \mathcal{C}_f par rapport à T ?
Corrigé
L'équation réduite de la tangente T à la courbe \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 est :
y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)
Pour dériver 3x\ln(x) on utilise la formule (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} :
f^{\prime}(x)=3-\left(3\ln(x)+3x \times \frac{1}{x}\right)=-3\ln(x)
Par conséquent :
f^{\prime}(1)=-3\ln(1)=0
Par ailleurs :
f(1)=3-3\ln(1)=3
L'équation de la droite T est donc y=3.
A ce stade, il peut être utile de représenter la fonction f et la droite T à la calculatrice.
On voit sur cette figure que la courbe \mathcal{C}_f est située au dessous de la tangente T.
Pour prouver ce résultat, on va étudier les variations de la fonction f. On a déjà calculé f'(x); étudions le signe de cette dérivée :
f^{\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow -3\ln(x) > 0
\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow 3\ln(x) < 0
\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow \ln(x) < 0
\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow x < e^0 (car la fonction exponentielle est croissante)
\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow x < 1
On démontre de même que f^{\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1
On obtient donc le tableau de variations suivant :
Ce tableau montre que la fonction f admet un maximum égal à 3, donc sur l'intervalle ]0;+\infty[ la courbe \mathcal{C}_f est située au-dessous de la tangente T.
