Exercice corrigéPour chacune des fonctions c-dessous :
- donner l’ensemble de définition
- indiquer s’il s’agit d’une fonction homographique
- f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}
- g\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{x-1}
- h\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}
Corrigé
- f est définie si et seulement si x+1\neq 0, c’est à dire x\neq -1. Son ensemble de définition est :
D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}
f est de la forme x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} avec a=0, b=1, c=1\left(\neq 0\right), d=1 et ad-bc=-1\neq 0 : donc f est une fonction homographique. - g est définie lorsque x-1\neq 0, c’est à dire x\neq 1. L’ensemble de définition de g est :
D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}
g n’est pas une fonction homographique (à cause du terme x^{2} au numérateur). - h est définie si et seulement si x+2\neq 0, c’est à dire x\neq -2. Son ensemble de définition est :
D_{h}=\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}
h est de la forme x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} mais ad-bc=0 donc h n’est pas une fonction homographique.
En fait pour x\neq -2, h\left(x\right) se simplifie :
h\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}=\frac{2\left(x+2\right)}{x+2}=2
h est donc une fonction constante sur \mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}.
