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Seconde

facileExercice corrigé

Fonction homographique ou non

Pour chacune des fonctions c-dessous :

  • donner l'ensemble de définition
  • indiquer s'il s'agit d'une fonction homographique
  1. f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}
  2. g\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{x-1}
  3. h\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}

Corrigé

  1. f est définie si et seulement si x+1\neq 0, c'est à dire x\neq -1. Son ensemble de définition est :
    D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}
    f est de la forme x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} avec a=0, b=1, c=1\left(\neq 0\right), d=1 et ad-bc=-1\neq 0 : donc f est une fonction homographique.
  2. g est définie lorsque x-1\neq 0, c'est à dire x\neq 1. L'ensemble de définition de g est :
    D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}
    g n'est pas une fonction homographique (à cause du terme x^{2} au numérateur).
  3. h est définie si et seulement si x+2\neq 0, c'est à dire x\neq -2. Son ensemble de définition est :
    D_{h}=\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}
    h est de la forme x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} mais ad-bc=0 donc h n'est pas une fonction homographique.
    En fait pour x\neq -2, h\left(x\right) se simplifie :
    h\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}=\frac{2\left(x+2\right)}{x+2}=2
    h est donc une fonction constante sur \mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}.
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