Exercice corrigéExercice 2 (5 points)
Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe \mathscr{C}_{ f } représentatif de la fonction f définie sur l'intervalle [ -1~;~2 ] par :
Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe \mathscr{C}_{ f }. On nomme L la longueur de la plaque rectangulaire et \mathscr{l} sa largeur.
On note f ^{\prime} la fonction dérivée de f.
Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [ -1~;~2 ] , f ^{\prime} ( x )=( -x+1 )\text{e}^{ x }.
En déduire le tableau de variations de la fonction f sur [ -1~;~2 ].
La longueur L de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur \mathscr{l} exacte en centimètres.
Corrigé
Pour calculer la dérivée f ^{\prime} de la fonction f on utilise la formule :
( uv ) ^{\prime} =u ^{\prime} v+uv ^{\prime}où u et v sont les fonctions définies par :
u( x )= -x+2
v( x )=\text{e}^{ x }
On a alors :
u ^{\prime} ( x )= -1
v ^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x }
Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle \left[ -1~;~2\right] :
f ^{\prime} ( x )= -\text{e}^{ x }+( -x+2 )\text{e}^{ x }
\phantom{f ^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( -1 -x+2 \right)
\phantom{f ^{\prime} ( x )}=\left( -x+1 \right)\text{e}^{ x }.Pour tout réel x, \text{e}^{ x } est strictement positif ; donc f ^{\prime} est du signe de -x+1 c'est-à-dire :
f ^{\prime} s'annule pour x=1
f ^{\prime} est strictement positive pour x < 1
f ^{\prime} est strictement négative pour x > 1.
On a par ailleurs :
f( -1 )=( 1+2 )\text{e}^{ -1 }=3\text{e}^{ -1 }=\frac{ 3 }{ \text{e} }
f( 1 )=( -1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e}
f( 2)=( -2 +2)\text{e}^{ 2 }=0
On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :
Le maximum de la fonction f est f( 1 )=\text{e} ; son minimum est f( 2 )=0. La largeur de la plaque est donc \text{e} unités. L'unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc l=30\text{e} centimètres (soit environ 81,5 cm mais c'est la valeur exacte qui est demandée…).
