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Première

moyenExercice corrigé

Fonction exponentielle - Contrôle continu 1ère - 2020 - Sujet zéro

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.

Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe \mathscr{C}_{ f } représentatif de la fonction f définie sur l'intervalle [ -1~;~2 ] par :

f( x )=( -x+2 )\text{e}^{ x }.

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe \mathscr{C}_{ f }. On nomme L la longueur de la plaque rectangulaire et \mathscr{l} sa largeur.

  1. On note f ^{\prime} la fonction dérivée de f.

    1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [ -1~;~2 ] , f ^{\prime} ( x )=( -x+1 )\text{e}^{ x }.

    2. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur [ -1~;~2 ].

  2. La longueur L de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur \mathscr{l} exacte en centimètres.

Corrigé

    1. Pour calculer la dérivée f ^{\prime} de la fonction f on utilise la formule :

      ( uv ) ^{\prime} =u ^{\prime} v+uv ^{\prime}

      où u et v sont les fonctions définies par :

      • u( x )= -x+2

      • v( x )=\text{e}^{ x }

      On a alors :

      • u ^{\prime} ( x )= -1

      • v ^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x }

      Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle \left[ -1~;~2\right] :

      f ^{\prime} ( x )= -\text{e}^{ x }+( -x+2 )\text{e}^{ x }
      \phantom{f ^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( -1 -x+2 \right)
      \phantom{f ^{\prime} ( x )}=\left( -x+1 \right)\text{e}^{ x }.

    2. Pour tout réel x, \text{e}^{ x } est strictement positif ; donc f ^{\prime} est du signe de -x+1 c'est-à-dire :

      • f ^{\prime} s'annule pour x=1

      • f ^{\prime} est strictement positive pour x < 1

      • f ^{\prime} est strictement négative pour x > 1.

      On a par ailleurs :

      • f( -1 )=( 1+2 )\text{e}^{ -1 }=3\text{e}^{ -1 }=\frac{ 3 }{ \text{e} }

      • f( 1 )=( -1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e}

      • f( 2)=( -2 +2)\text{e}^{ 2 }=0

      On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :

      Tableau de variation Contrôle continu

  1. Le maximum de la fonction f est f( 1 )=\text{e} ; son minimum est f( 2 )=0. La largeur de la plaque est donc \text{e} unités. L'unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc l=30\text{e} centimètres (soit environ 81,5 cm mais c'est la valeur exacte qui est demandée…).

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