Fonctions - Convexité - Bac ES/L Centres étrangers 2013

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidatsOn considère la fonction

f

définie sur l'intervalle

\left[2 ; 8\right]

par :

f\left(x\right)=\frac{-x^{2}+10x-16}{x^{2}}

On appelle

\left(C\right)

sa courbe représentative dans un repère.

Montrer que pour tout réel de l'intervalle \left[2 ; 8\right], on a : f^{\prime}\left(x\right)=\frac{-10x+32}{x^{3}}
1. Étudier le signe de $f ^{\prime}\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[2 ; 8\right]$ .
2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $\left[2 ; 8\right]$ .
On appelle f^{\prime\prime} la dérivée seconde de f sur \left[2 ; 8\right]. On admet que, pour tout réel x de l'intervalle \left[2 ; 8\right], on a : f^{\prime\prime}\left(x\right)=\frac{20x-96}{x^{4}}
1. Montrer que $f$ est une fonction convexe sur $\left[4,8 ; 8\right]$ .
2. Montrer que le point de $\left(C\right)$ d'abscisse $4,8$ est un point d'inflexion.
On considère la fonction F définie sur \left[2 ; 8\right] par :F\left(x\right)=-x+10\ln x +\frac{16}{x}
1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[2 ; 8\right]$ .
2. Calculer $I=\int_{2}^{8} f\left(x\right)dx$