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Tle Complément.

moyenExercice non corrigé

Fonctions - Convexité - Bac ES/L Centres étrangers 2013

Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur l'intervalle \left[2 ; 8\right] par : f\left(x\right)=\frac{-x^{2}+10x-16}{x^{2}} On appelle \left(C\right) sa courbe représentative dans un repère.
  1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle \left[2 ; 8\right], on a : f^{\prime}\left(x\right)=\frac{-10x+32}{x^{3}}
    1. Étudier le signe de f ^{\prime}\left(x\right) sur l'intervalle \left[2 ; 8\right].
    2. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle \left[2 ; 8\right].
  2. On appelle f^{\prime\prime} la dérivée seconde de f sur \left[2 ; 8\right]. On admet que, pour tout réel x de l'intervalle \left[2 ; 8\right], on a : f^{\prime\prime}\left(x\right)=\frac{20x-96}{x^{4}}
    1. Montrer que f est une fonction convexe sur \left[4,8 ; 8\right].
    2. Montrer que le point de \left(C\right) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.
  3. On considère la fonction F définie sur \left[2 ; 8\right] par :F\left(x\right)=-x+10\ln x +\frac{16}{x}
    1. Montrer que F est une primitive de f sur \left[2 ; 8\right].
    2. Calculer I=\int_{2}^{8} f\left(x\right)dx
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