Exercice non corrigéExercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur l'intervalle \left[2 ; 8\right] par : f\left(x\right)=\frac{-x^{2}+10x-16}{x^{2}} On appelle \left(C\right) sa courbe représentative dans un repère.- Montrer que pour tout réel de l'intervalle \left[2 ; 8\right], on a : f^{\prime}\left(x\right)=\frac{-10x+32}{x^{3}}
- Étudier le signe de f ^{\prime}\left(x\right) sur l'intervalle \left[2 ; 8\right].
- En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle \left[2 ; 8\right].
- On appelle f^{\prime\prime} la dérivée seconde de f sur \left[2 ; 8\right].
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle \left[2 ; 8\right], on a : f^{\prime\prime}\left(x\right)=\frac{20x-96}{x^{4}}
- Montrer que f est une fonction convexe sur \left[4,8 ; 8\right].
- Montrer que le point de \left(C\right) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.
- On considère la fonction F définie sur \left[2 ; 8\right] par :F\left(x\right)=-x+10\ln x +\frac{16}{x}
- Montrer que F est une primitive de f sur \left[2 ; 8\right].
- Calculer I=\int_{2}^{8} f\left(x\right)dx
