Étude graphique suite arithmético-géométrique

L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite (u_n) définie par u_0=2 et pour tout entier naturel n :

Sur le graphique fourni en Annexe, on a représenté les droites D et \Delta d'équations respectives y=0,9x+2 et y=x.

Ces deux droites se coupent en un point M.

1. Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point M.

2. A_0 est le point de la droite D d'abscisse u_0=2.

   Expliquer pourquoi l'ordonnée de A_0 est égale à u_1.

3. B_1 est le point de la droite \Delta tel que la droite (A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses.

   Exprimer, en fonction de u_1, les coordonnées de B_1.

4. Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5 et u_6.

5. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (u_n).

Pour tout entier naturel n, on pose v_n=u_n-20.

1. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

2. Exprimer v_n en fonction de n.

3. Montrer que pour tout entier naturel n :

   u_n=20-18 \times 0,9^n.

4. En déduire la limite de la suite (u_n).