Étude graphique suite arithmético-géométrique

L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = 0,9u_n+2.

Sur le graphique fourni en Annexe, on a représenté les droites $D$ et $\Delta$ d'équations respectives $y=0,9x+2$ et $y=x$ .

Ces deux droites se coupent en un point $M$ .

Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point $M$ .
$A_0$ est le point de la droite $D$ d'abscisse $u_0=2$ .

Expliquer pourquoi l'ordonnée de $A_0$ est égale à $u_1$ .
$B_1$ est le point de la droite $\Delta$ tel que la droite $(A_0B_1)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Exprimer, en fonction de $u_1$ , les coordonnées de $B_1$ .
Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de $u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5$ et $u_6$ .
À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite $(u_n)$ .

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_n=u_n-20$ .

Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
$u_n=20-18 \times 0,9^n.$
En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

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