L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite (u_n) définie par u_0=2 et pour tout entier naturel n :
Partie A
Étude graphique
Sur le graphique fourni en Annexe, on a représenté les droites D et \Delta d'équations respectives y=0,9x+2 et y=x.
Ces deux droites se coupent en un point M.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point M.
A_0 est le point de la droite D d'abscisse u_0=2.
Expliquer pourquoi l'ordonnée de A_0 est égale à u_1.
B_1 est le point de la droite \Delta tel que la droite (A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses.
Exprimer, en fonction de u_1, les coordonnées de B_1.
Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5 et u_6.
À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (u_n).
Partie B
Utilisation d'une suite annexe
Pour tout entier naturel n, on pose v_n=u_n-20.
Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer v_n en fonction de n.
Montrer que pour tout entier naturel n :
u_n=20-18 \times 0,9^n.En déduire la limite de la suite (u_n).
ANNEXE