Etude de fonction et équations - Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 3

(6 points) Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left]1; +\infty \right[ par f\left(x\right)=\ln x-\frac{1}{\ln x}.
On nomme \left(C\right) la courbe représentative de f et \Gamma la courbe d'équation y=\ln x dans un repère orthogonal \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).

1. Etudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +\infty .
2. 1. Déterminer \lim\limits_{x \rightarrow +\infty }\left[f\left(x\right)-\ln x\right]. Interpréter graphiquement cette limite.
   2. Préciser les positions relatives de \left(C\right) et de \Gamma .
3. On se propose de chercher les tangentes à la courbes \left(C\right) passant par le point O.
   1. Soit a un réel appartenant à l'intervalle \left]1; +\infty \right[.
      Démontrer que la tangente T_{a} à \left(C\right) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si f\left(a\right)-a f^{\prime}\left(a\right)=0.
      Soit g la fonction définie sur l'intervalle \left]1; +\infty \right[ par g\left(x\right)=f\left(x\right)-x f^{\prime} \left(x\right).
   2. Montrer que sur \left]1; +\infty \right[, les équations g\left(x\right)=0 et \left(\ln x\right)^{3}-\left(\ln x\right)^{2}-\ln x-1=0 ont les mêmes solutions.
   3. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur \mathbb{R} par u\left(t\right)=t^{3}-t^{2}-t-1, montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur \mathbb{R}.
   4. En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe \left(C\right) passant par le point O.
      La courbe \left(C\right) et la courbe \Gamma sont données en annexe ci-dessous.
      Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur :
      
      Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
4. On considère un réel m et l'équation f\left(x\right)=mx d'inconnue x.
   Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle \left]1 ; 10\right].

Corrigé

Solution rédigée par Paki