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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude de bénéfice - Bac ES Métropole 2012

Exercice 4   6 points

Commun à tous les candidats

Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend xx centaines d'objets (pour xx compris entre 0 et 6) est donné par

f(x)=(200x300)ex1+10f\left(x\right) = \left(200x - 300\right)\text{e}^{ - x - 1} + 10

Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction ff sur l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right].

graphique  calculatrice

Partie A : objectif "réaliser un bénéfice maximal "

L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d'étudier la fonction ff sur l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right]. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right]. On désigne par ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff.

  1. Établir que, pour tout nombre réel xx de l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right],

    f(x)=(500200x)ex1f^{\prime}\left(x\right) = \left(500 - 200x\right)\text{e}^{ - x - 1}

  2. Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right].

  3. En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
    Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro).

  4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction ff.

Partie B : objectif "ne pas vendre à perte "

  1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

  2. Démontrer que sur l'intervalle [1;2]\left[1 ; 2\right] l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée α\alpha .

  3. Donner une valeur approchée de α\alpha à 10210^{ - 2} près.

  4. Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.