Exercice corrigéExercice 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right), on considère les points
A\left(1 , 1 , 0\right) , B\left(1 , 2 , 1\right) et C\left(3 , -1 , 2\right).
- Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
- Démontrer que le plan \left(ABC\right) a pour équation cartésienne 2x+y-z-3=0.
- On considère les plans \left(P\right) et \left(Q\right) d'équations respectives x+2y-z-4=0 et 2x+3y-2z-5=0.
Démontrer que l'intersection des plans \left(P\right) et \left(Q\right) est une droite \left(D\right), dont une représentation paramétrique est :
\left\{ \begin{matrix} x=-2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right. avec \left(t\in \mathbb{R}\right) - Quelle est l'intersection des trois plans \left(ABC\right), \left(P\right) et \left(Q\right) ?
- Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point A à la droite \left(D\right).
Corrigé
- \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés. - Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation 2x+y-z-3=0. En effet :
pour A : 2\times 1+1\times 1-1\times 0-3=0
pour B : 2\times 1+1\times 2-1\times 1-3=0
pour C : 2\times 3+1\times \left(-1\right)-1\times 2-3=0
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne 2x+y-z-3=0.
- \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
- M de coordonnées \left(x ; y ; z \right) appartient à P \cap Q si et seulement si :
\left\{ \begin{matrix} x+2y-z-4=0 \\ 2x+3y -2z -5=0 \end{matrix}\right.
On pose t=z et on résout le système.
\left\{ \begin{matrix} z=t \\ x=-2y+t+4 \\ -4y+2t +8+3y -2t -5=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z=t \\ y=3 \\ x=-2+t \end{matrix}\right. - Pour trouver l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q), on résout le système :
\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 2x+y-z -3=0 \\ x+2y-z -4=0 \\ 2x+3y-2z -5=0 \end{matrix}\right.
D'après la question précédente les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d'accélérer la résolution :
\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=3 \\ 2x+3-z -3=0 \\ x+6-z -4=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3 \\ z=4 \end{matrix}\right.
L'intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées \left(2 ; 3 ; 4\right). - Soit M un point de (D). Ses coordonnées \left(x;y;z\right) sont de la forme :
\left\{ \begin{matrix} x=-2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right.
La distance de A à (D) est le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).
Or :
AM^{2}=\left(-3+t\right)^{2}+\left(3-1\right)^{2}+t^{2}=t^{2}-6t+9+4+t^{2} =2t^{2}-6t+13
AM^{2} est un polynôme du second degré en t qui atteint son minimum pour t=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}
Ce minimum vaut alors :
AM_{0}^{2}=2\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-6\left(\frac{3}{2}\right)+13=\frac{17}{2}
La distance de A à (D) est donc :
AM_{0}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}
