Exercice 2

4 points - Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$, on considère les points A(1,2,3), B(0,1,4), C(-1,-3,2), D(4,-2,5) et le vecteur $\vec{n}$ (2,-1,1).

1. 1. Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.

   2. Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

   3. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit ($\Delta$) la droite dont une représentation paramétrique est :

   $\left\{ \begin{matrix} x=2 - 2t \\ y= - 1+t \\ z=4 - t \end{matrix}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$.

   Montrer que le point D appartient à la droite ($\Delta$) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

   Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.