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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Droite d'ajustement et astronomie - Bac ES Amérique du Nord 2008

Exercice 3

(5 points) Commun à tous les candidats

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :

On considère la série statistique double (i;di)1<i<8\left(i ; d_{i}\right)_{1 < i < 8}, où ii représente le numéro d'ordre de la planète et did_{i} sa distance au soleil (en millions de km) :

(1 ; 57,94) , (2 ; 108,27) , (3 ; 149,60) , (4 ; 228,06) , (5 ; 396,44) , (6 ; 778,73) , (7 ; 1 427,7) , (8 ; 2 872,4).

  1. Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple (3 ; 149,60).

    Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à 10310^{ - 3} près.

  2. Compléter le tableau suivant :

    ii 1 2 3 4 5 6 7 8
    did_{i} 57,94 108,27 149,60 228,06 396,44 778,73 1 427,7 2 872,4
    did1d_{i} - d_{1} 0 170,12
    yi=ln(did1)y_{i}=\ln\left(d_{i} - d_{1}\right) 5,137

    1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série (i;yi)\left(i ; y_{i}\right), avec i compris entre 2 et 8.

    2. Construire le nuage de points (i;yi)\left(i ; y_{i}\right), avec ii compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : 2 cm.

    1. Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de did_{i}, en fonction de ii, avec ii compris entre 2 et 8, sous la forme di=57,94+12,16×1,966id_{i}=57,94+12,16 \times 1,966^{i}.

    2. Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9.
      (Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom de deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune n°9 en 1848... La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut " Pluton "... La planète naine en n°10).