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Tle Expert

moyenExercice corrigé

Cryptographie - Bac S Pondichéry 2016 (spé)

Exercice 3 - 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices M de la forme M = \begin{pmatrix}a&b \\ 5&3\end{pmatrix} où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a-5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M).
Ainsi det(M) = 3a-5b.

  1. Dans cette question on suppose que det(M) \ne 0 et on pose N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&-b \\ -5&a\end{pmatrix}.
    Justifier que N est l'inverse de M.
  2. On considère l'équation (E) :\quad \text{det}(M) = 3.
    On souhaite déterminer tous les couples d'entiers (a~;~b) solutions de l'équation (E).

    1. Vérifier que le couple (6~;~3) est une solution de (E).
    2. Montrer que le couple d'entiers (a~;~b) est solution de (E) si et seulement si3(a-6) = 5(b-3).
      En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).

Partie B

  1. On pose Q = \begin{pmatrix}6 & 3 \\ 5 & 3\end{pmatrix}.
    En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
  2. Codage avec la matrice Q
    Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice Q = \begin{pmatrix}6 &3 \\ 5& 3\end{pmatrix} on utilise la procédure ci-après :

    Étape 1 : On associe au mot la matrice X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} où x_1 est l'entier correspondant à la première lettre du mot et x_2 l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

    ABCDEFGHIJKLM
    0123456789101112
    NOPQRSTUVWXYZ
    13141516171819202122232425

    Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} telle que Y = QX.

    Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} telle que r_1 est le reste de la division euclidienne de y_1 par 26 et r_2 est le reste de la division euclidienne de y_2 par 26.

    Étape 4 : À la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1.

    Exemple : JE \to X = \begin{pmatrix}9 \\ 4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66 \\ 57\end{pmatrix} \to R \begin{pmatrix}14 \\ 5\end{pmatrix} \to OF.

    Le mot JE est codé en le mot OF.
    Coder le mot DO.

  3. Procédure de décodage
    On conserve les mêmes notations que pour le codage.
    Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.

    1. Démontrer que 3X = 3Q^{-1}Y puis que \begin{cases} 3x_1 \equiv 3r_1-3r_2 \quad [26]\\ 3x_2 \equiv -5r_1+6r_2 \quad [26] \end{cases}
    2. En remarquant que 9 \times 3 \equiv 1 \quad [26], montrer que \begin{cases} x_1 \equiv r_1-r_2 \quad [26] \\ x_2 \equiv 7r_1+2r_2 \quad [26] \end{cases}
    3. Décoder le mot SG.

Corrigé

Solution rédigée par Paki

cryptographie-bac-s-pondichery-2016-spe
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