Congruences-Bac S Liban 2009

Exercice 4

5 points-Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel n dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que n^{3}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 10000.

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2009^{2} par 16.
2. En déduire que 2009^{8001}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 16.

Partie B

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par :
u_{0}=2009^{2}-1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\left(u_{n}+1\right)^{5} -1.

1. 1. Démontrer que u_{0} est divisible par 5.
   2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n
      u_{n+1}=u_{n}\left[u_{n}^{4}+5\left(u_{n}^{3}+2u_{n}^{2} +2u_{n}+1\right)\right]
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n} est divisible par 5^{n+1}.
2. 1. Vérifier que u_{3}=2009^{250} -1 puis en déduire que 2009^{250}\equiv 1 \ \text{}mod. \text{}\ 625.
   2. Démontrer alors que 2009^{8001}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 625.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 2009^{8001}-2009 est divisible par 10 000.
2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.