Arithmétique - Bac S Amérique du Nord 2013 (spé)

Exercice 2 (spé)   5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l'algorithme suivant :

1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?

Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

• Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre m correspondant dans le tableau.
• Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5 par 26 et on le note p.
• Étape 3 : Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.
2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de m entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de p, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.

Partie C

1. Trouver un nombre entier x tel que 9x \equiv 1 \left[26\right].
2. Démontrer alors l'équivalence :

   9m+5 \equiv p \left[26\right] \Leftrightarrow m\equiv 3p- 15 \left[26\right].

3. Décoder alors la lettre B.