Exercice corrigéExercice 1
Commun à tous les candidats
Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :
- un assortiment de macarons, choisi par 50% des clients
- une part de tarte Tatin, choisie par 30% des clients
20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que :
- parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80% prennent un café
- parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60% prennent un café
- parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90% prennent un café
On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
On note :
- M l'évènement : « Le client prend un assortiment de macarons »
- T l'évènement : « Le client prend une part de tarte Tatin »
- P l'évènement : « Le client ne prend pas de dessert »
- C l'évènement: « Le client prend un café » et \overline{C} l'évènement contraire de C
- En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de p(T) et celle de p[sub]T[/sub](C), probabilité de l'évènement C sachant que T est réalisé.
- Recopier et compléter l'arbre ci-dessous:
- Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement M \cap C puis calculer p(M \cap C).
- Montrer que p(C)=0,76
- Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).
- Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte Tatin est vendue 7 €, et un café est vendu 2 €.
Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 €, ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.- Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?
- Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :
Somme s_{i} 18 20 24 ... ... ... p\left(s_{i}\right) 0,02 0,18 ... - Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.
Corrigé
- T est l’évènement « le client choisit une part de tarte Tatin ».
D’après l’énoncé :
p\left(T\right)=\frac{300}{100}=0,3
p_{T}\left(C\right) est la probabilité que le client prenne un café sachant qu’il a pris une tarte Tatin.
D’après l’énoncé :
p-T\left(C\right)=\frac{60}{100}=0,6 -
- M \cap C est l’évènement « le client prend un assortiment de macarons et un café ».
D’après la formule des probabilités conditionnelles :
p\left(M \cap C\right)=p\left(M\right)\times p_{M}\left(C\right)=0,5\times 0,8=0,4 - D’après la formule des probabilités totales:
p\left(C\right)=p\left(M \cap C\right)+p\left(T \cap C\right)+p\left(P \cap C\right)
p\left(C\right)=0,4+p\left(T\right)\times p_{T}\left(C\right)+p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right)
p\left(C\right)=0,4+0,3\times 0,6+0,2\times 0,9=0,76
- M \cap C est l’évènement « le client prend un assortiment de macarons et un café ».
- On recherche p_{C}\left(M\right).
D’après la formule des probabilités conditionnelles :
p_{C}\left(M\right)=\frac{p\left(M \cap C\right)}{p\left(C\right)}=\frac{0,4}{0,76}\approx 0,53 - Les six éventualités sont : P \cap \overline{C}, P \cap C, M \cap \overline{C}, M \cap C, T \cap \overline{C}, T \cap C. Les prix correspondants sont donnés par le tableau ci-dessous :
évènement P \cap \overline{C} P \cap C M \cap \overline{C} M \cap C T \cap \overline{C} T \cap C prix 18 20 24 26 25 27 Les six valeurs possibles sont donc 18, 20, 24, 25, 26 et 27 euros.
- On a p\left(P \cap C\right)=p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right)=0,2\times 0,1=0,02
Les autres calculs sont analogues.
La loi de probabilité est donnée par le tableau :sommes S_{i} 18 20 24 25 26 27 p\left(S_{i}\right) 0,02 0,18 0,1 0,12 0,4 0,18 - L’espérance mathématique est :
E=0,02\times 18+0,18\times 20+0,1\times 24+0,12\times 25+0,4\times 26+0,18\times 27=24,62
La somme dépensée en moyenne par un client est donc 24,62 euros.
- Les six éventualités sont : P \cap \overline{C}, P \cap C, M \cap \overline{C}, M \cap C, T \cap \overline{C}, T \cap C. Les prix correspondants sont donnés par le tableau ci-dessous :
