Exercice corrigéExercice 3
5 points-Commun à tous les candidats
Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.
Un jour l'une des deux est déréglée.
Les joueurs ne peuvent savoir laquelle des deux est déréglée.
- Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
On note :- D l'événement " le joueur choisit la console déréglée " et \overline{D} l'événement contraire ;
- G l'événement " le joueur gagne la partie " et \overline{G} l'événement contraire.
Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités.
Ainsi, 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi une console déréglée.- Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.
- Calculer la probabilité de l'événement " le joueur choisit la console déréglée et il gagne ".
- Calculer la probabilité de l'événement " le joueur choisit la console non déréglée et il gagne ".
- Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.
- Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu'il a gagné.
- Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et joue une partie.
Calculer la probabilité de l'événement " le joueur gagne exactement deux fois ". Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.
Corrigé
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- L'évènement "le joueur choisit la console déréglée et il gagne" est D \cap G.
p\left(D \cap G\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(G\right)=0,5\times 0,7=0,35 - L'évènement "le joueur choisit la console non déréglée et il gagne" est \overline{D} \cap G.
p\left(\overline{D} \cap G\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(G\right)=0,5\times 0,2=0,1 - D'après la formule des probabilités totales :
p\left(G\right)=p\left(D \cap G\right)+p\left(\overline{D} \cap G\right)=0,35+0,1=0,45 - La probabilité cherchée est p_{G}\left(D\right) :
p_{G}\left(D\right)=\frac{p\left(D \cap G\right)}{p\left(G\right)}=\frac{0,35}{0,45}=\frac{7}{9}
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- L'expérience de l'énoncé suit une loi binômiale de paramètres p=0,45 et n=3.
3 cas correspondent à l'évènement "le joueur gagne exactement 2 fois" : GG\overline{G}, G\overline{G}G, \overline{G}GG.
La probabilité de cet évènement est donc :
P=3\times p^{2}\times \left(1-p\right)=3\times 0,45^{2}\times 0,55 \approx 0,334
