[Niveau: Troisième et +]
Sur la figure ci-dessus, ABCD est un carré d’aire 1m² et AEF est un triangle équilatéral (E et F sont situés sur les côtés [BC] et [CD]).
Quelle est l’aire exacte du triangle AEF ?
Solutions
Deux solutions ont été retenues.
- Celle proposée par Edav utilise le théorème de Pythagore mais nécessite de savoir résoudre une équation du second degré (niveau Première)
- Celle proposée par Olivier utilise la trigonométrie. Elle a l’avantage d’être accessible à un élève de troisième mais elle ne fournit qu’une valeur approchée (sauf si l’on sait que \tan 15^{\circ}= 2-\sqrt{3} – voir exercice Calcul de tan(15°) )
Solution rédigée par Edav (lire m² au lieu de m dans la réponse finale)
Solution rédigée par Olivier
Dans le triangle ABE, tan A = EB/AB donc comme AB=1, EB=tan 15°=0,268 ; et l’aire = AB x EB/2 = 0,268/2 = 0,1339
Même chose dans le triangle ADF qui lui est égal
Donc l’aire des 2 triangles (ADF + ABE) est égale à 0,1339 x 2 =0,268m2
L’aire du triangle FCE =FC x CE/2 ; or FC=CE=1-EB=1-0,268 =0,7321 ; donc aire FCE = 0,7321 x 0,7321/2 = 0,268m2
L’aire de la partie non grisée (ADF + ABE + FCE) est donc égale à 0,268 +0,268 = 0,535m2
L’aire grisée (le triangle AFE) est donc égale à 1-0,535 = 0,465m2