Polynômes et équations du second degré
1. Polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
[latex]P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c[/latex]
où [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] et [latex]c[/latex] sont des réels avec [latex]a \neq 0[/latex]
Exemples
[latex]P\left(x\right)=2x^{2}+3x-5[/latex] est un polynôme du second degré.
[latex]P\left(x\right)=x^{2}-1[/latex] est un polynôme du second degré avec [latex]b=0[/latex] mais [latex]Q\left(x\right)=x-1[/latex] n'en est pas un car [latex]a[/latex] n'est pas différent de zéro : c'est un polynôme du premier degré (ou une fonction affine)
[latex]P\left(x\right)=5\left(x-1\right)\left(3-2x\right)[/latex] est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
[latex]P\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2}+ \beta [/latex]
avec [latex]\alpha =-\frac{b}{2a}[/latex] et [latex]\beta =P\left(\alpha \right)[/latex]
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme [latex]P[/latex].
Exemple
Soit [latex]P\left(x\right)=2x^{2}+4x+5[/latex]
[latex]\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\times 2}=-1[/latex]
[latex]\beta =P\left(\alpha \right)=P\left(-1\right)=2\times \left(-1\right)^{2}+4\times \left(-1\right)+5=2-4+5=3[/latex]
La forme canonique de [latex]P\left(x\right)[/latex] est donc :
[latex]P\left(x\right)=2\left(x+1\right)^{2}+3[/latex]
2. Equations du second degré
Définition
On appelle racine d'un polynôme [latex]P\left(x\right)[/latex] une solution de l'équation [latex]P\left(x\right)=0[/latex]
Remarque
Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" !
Définition
On appelle discriminant du polynôme [latex]P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c[/latex] le nombre :
[latex]\Delta =b^{2}-4ac[/latex]
Théorème
Si [latex]\Delta > 0[/latex], le polynôme [latex]P[/latex] admet deux racines distinctes : [latex]x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}[/latex] et [latex]x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}[/latex]
Si [latex]\Delta =0[/latex], le polynôme [latex]P[/latex] admet une racine unique : [latex]x_{0}=\frac{-b}{2a}[/latex]
Si [latex]\Delta < 0[/latex], le polynôme [latex]P[/latex] n'admet aucune racine réelle.
Exemples
[latex]P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2[/latex]
[latex]\Delta =9-4\times \left(-1\right)\times \left(-2\right)=1[/latex]
[latex]P_{1}[/latex] possède 2 racines :
[latex]x_{1}=\frac{-3-1}{-2}=2[/latex] et [latex]x_{2}=\frac{-3+1}{-2}=1[/latex]
[latex]P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4[/latex]
[latex]\Delta =16-4\times 1\times 4=0[/latex]
[latex]P_{2}[/latex] possède une seule racine :
[latex]x_{0}=-\frac{-4}{2}=2[/latex]
[latex]P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1[/latex]
[latex]\Delta =1-4\times 1\times 1=-3[/latex]
[latex]P_{3}[/latex] ne possède aucune racine.
3. Inéquations du second degré
Théorème
Soit P(x) un trinôme du second degré de discriminant [latex]\Delta [/latex].
Si [latex]\Delta > 0[/latex] : [latex]P\left(x\right)[/latex] est du signe de [latex]a[/latex] à l'extérieur des racines (c'est à dire si [latex]x < x_{1}[/latex] ou [latex]x > x_{2}[/latex] ) et du signe opposé entre les racines (si [latex]x_{1} < x < x_{2}[/latex]).
Si [latex]\Delta =0[/latex] : [latex]P\left(x\right)[/latex] est toujours du signe de [latex]a[/latex] sauf en [latex]x_{0}[/latex] (où il s'annule).
Si [latex]\Delta < 0[/latex] : [latex]P\left(x\right)[/latex] est toujours du signe de [latex]a[/latex].
Exemples
Si l'on reprend les exemples précédents :
[latex]P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2[/latex] :
[latex]\Delta > 0[/latex] et [latex]a < 0[/latex].
[latex]P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4[/latex] :
[latex]\Delta =0[/latex] et [latex]a > 0[/latex].
[latex]P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1[/latex] :
[latex]\Delta < 0[/latex] et [latex]a > 0[/latex].
4. Interprétation graphique
On rappelle que les solutions de l'équation [latex]f\left(x\right)=0[/latex] sont les abscisses des points d'intersection de la courbe [latex]C_{f}[/latex] et de l'axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :
