I – Généralités sur les fonctions
Définition
Une fonction f associe, à tout nombre réel x d’une partie D de \mathbb{R}, un unique nombre réel y. y s’appelle l’image de x par la fonction f et se note f\left(x\right)
Définition
L’ensemble D des éléments x de \mathbb{R} qui possèdent une image par f s’appelle l’ensemble de définition de f.
Définition
La courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points du plan \mathscr P dont les coordonnées \left(x; y\right) vérifient l’égalité y=f\left(x\right).
Remarque
Cette définition est importante car elle établit un lien entre la courbe représentative d’une fonction et la formule définissant la fonction. Elle permet de déterminer notamment si un point appartient à la courbe représentative d’une fonction.
Par exemple si f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^{2}+1, le point A\left(1;2\right) appartient à courbe représentative de f car f\left(1\right)=1^{2}+1=2. Par contre le point B\left(2;4\right) n’y appartient pas car f\left(2\right)=5\neq 4.
Définitions
- La fonction f est croissante sur l’intervalle I si et seulement si pour tous réels x_{1} et x_{2} de I tels que x_{1} \leqslant x_{2} on a f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right).
- La fonction f est décroissante sur l’intervalle I si et seulement si pour tous réels x_{1} et x_{2} de I tels que x_{1} \leqslant x_{2} on a f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right).
Définitions
Soit I un intervalle et x_{0} \in I.
- La fonction f admet un maximum en x_{0} sur l’intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I, f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right). Le maximum de la fonction f sur I est alors M=f\left(x_{0}\right)
- La fonction f admet un minimum en x_{0} sur l’intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I, f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right). Le minimum de la fonction f sur I est alors m=f\left(x_{0}\right)
II – La fonction racine carrée
Définition
La fonction racine carrée est la fonction définie sur \left[0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\sqrt{x}
Propriété
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \left[0;+\infty \right[
Remarque
La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole
III – La fonction cube
Définition
La fonction cube est la fonction définie sur \left]-\infty ;+\infty \right[ par f\left(x\right)=x^{3}
Propriété
La fonction cube est strictement croissante sur \left]-\infty ;+\infty \right[
Remarques
- Comme la fonction x\mapsto x^{3} est strictement croissante sur \mathbb{R} :
a > b \Leftrightarrow a^{3} > b^{3} - En particulier x > 0 \Leftrightarrow x^{3} > 0
Autrement dit, le cube d’un nombre positif est positif et le cube d’un nombre négatif est négatif.
