I – Intervalle de fluctuation
Pour étudier un caractère présent dans une population, on prélève de façon aléatoire un échantillon dans cette population.
On suppose connues :
- la proportion p du caractère dans la population
- la taille n de l’échantillon
On cherche à évaluer :
- la fréquence f du caractère dans l’échantillon
Exemple
On sait que 48% des élèves d’un lycée sont des garçons (et donc 52% sont des filles…).
Si l’on sélectionne au hasard 100 élèves dans l’établissement, on devrait obtenir environ 52 filles et 48 garçons mais il n’est pas du tout certain que l’on obtienne exactement ces chiffres.
Par contre, on pourra rechercher un intervalle dans lequel se situera “probablement” la proportion de garçons dans cet échantillon.
Si n est élevé, on peut assimiler la sélection de l’échantillon à un tirage avec remise. Le nombre d’individus présentant le caractère étudié suit alors une loi binomiale \mathscr B\left(n,p\right). Pour n élevé, on peut approximer cette loi binomiale par une loi normale. On obtient alors le résultat suivant :
Définition et propriété
On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% l’intervalle :
I=\left[ p-1,96\times \frac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\times \frac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right]
Cela s’interprète de la façon suivante :
Pour n élevé, la probabilité que la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartienne à I est 0,95.
Exemple
Si l’on reprend l’exemple précédent, on a n=100 et p=\frac{48}{100}.
On trouve I= \left[0,38 ; 0,58\right].
La proportion de garçons dans l’échantillon devrait être comprise entre 38% et 58% (avec une probabilité de 0,95)
Remarques
- On considèrera que n est suffisamment élevé pour utiliser cet intervalle de fluctuation si n\geqslant 30, np\geqslant 5 et n\left(1-p\right)\geqslant 5
- L’ intervalle de fluctuation peut être utilisé pour valider ou rejeter une hypothèse. On procède de la façon suivante ::
⋄ On suppose que la proportion du caractère étudié est p.
⋄ On prélève un échantillon de taille n
⋄ On regarde si la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à I. Si oui,
l’hypothèse est validée, si non, elle est rejetée.
Le risque d’erreur est alors inférieur à 5%. - Pour des valeurs moyennes de p (par exemple 0,2\leqslant p\leqslant 0,8), 1,96\times \sqrt{p\left(1-p\right)} est proche de 1 (et légèrement inférieur). Si l’on arrondit 1,96\times \sqrt{p\left(1-p\right)} à 1, on obtient :
I=\left[ p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]
qui est l’intervalle vu en Seconde.
II – Intervalle de confiance
Dans cette partie (contrairement à la première partie), on suppose que l’on connait la fréquence f du caractère dans l’échantillon mais que l’ on ne connait pas la proportion p du caractère dans la population.
On cherche alors à évaluer p.
Définition et propriété
On appelle intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% l’intervalle :
I=\left[ f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]
Pour n élevé, la proportion p du caractère dans la population appartiendra à I dans 95% des cas.
Exemple
On recherche le pourcentage de truites femelles dans un élevage de truites.
Pour cela, on a prélevé un échantillon de 50 truites et on a comptabilisé 28 femelles dans cet échantillon.
Le pourcentage de truites femelles dans l’ensemble de l’élevage appartient donc à l’intervalle :
I=\left[ \frac{28}{50}-\frac{1}{\sqrt{50}} ; \frac{28}{50}+\frac{1}{\sqrt{50}} \right] \approx \left[0,42 ; 0,70\right]
avec un risque d’erreur inférieur à 5%.
Remarque
La longeur de l’intervalle I est \frac{2}{\sqrt{n}}.
Si l’on souhaite obtenir un intervalle d’amplitude maximale a, il faut choisir n tel que \frac{2}{\sqrt{n}}\leqslant a c’est à dire n\geqslant \frac{4}{a^{2}}
