I – Nombre dérivé
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a et b deux réels appartenant à I.
On appelle taux d’accroissement de f entre a et b le nombre :
T=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
Remarque
En faisant le changement de variable : b=a+h (h représente alors l’écart entre b et a), ce taux s’écrit aussi :
T=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}
Interprétation graphique
Le taux d’accroissement de f entre a et b est le coefficient directeur de la droite (AB).
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a.
On dit que f est dérivable en a si et seulement si le rapport \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} tend vers un nombre réel lorsque h tend vers zéro.
Ce nombre s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note f^{\prime}\left(a\right).
Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction f : x\mapsto x^{2} pour x=1.
\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\frac{\left(1+h\right)^{2}-1^{2}}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1^{2}}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h
Or quand h tend vers 0, 2+h tend vers 2; donc f^{\prime}\left(1\right)=2.
Interprétation graphique
Lorsque h se rapproche de zéro, le point B se rapproche du point A et la droite \left(AB\right) se rapproche de la tangente \left(T\right)
Propriété
Soit f une fonction dérivable en a de courbe représentative C_{f} . f^{\prime}\left(a\right) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_{f} au point d’abscisse a.
Propriété
Soit f une fonction dérivable en a de courbe représentative C_{f} . L’équation de la tangente à C_{f} au point d’abscisse a est :
y=f^{\prime}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Démonstration
D’après la propriété précédente, la tangente à C_{f} au point d’abscisse a est une droite de coefficient directeur f^{\prime}\left(a\right). Son équation est donc de la forme :
y=f^{\prime}\left(a\right)x+b
On sait que la tangente passe par le point A de coordonnées \left(a; f\left(a\right)\right) donc :
f\left(a\right)=f^{\prime}\left(a\right)a+b
b=-f^{\prime}\left(a\right)a+f\left(a\right)
L’équation de la tangente est donc :
y=f^{\prime}\left(a\right)x-f^{\prime}\left(a\right)a+f\left(a\right)
Soit :
y=f^{\prime}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Exemple
Cherchons l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f : x\mapsto x^{2} au point d’abscisse a=1.
On a f\left(1\right)=1^{2}=1 et on a vu dans l’exemple précédent que f^{\prime}\left(1\right)=2.
L’équation cherchée est donc :
y=2\left(x-1\right)+1
soit :
y=2x-1
II – Fonction dérivée
Définition
Si f est définie sur un intervalle I et si le nombre dérivé existe en chaque point de I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui a x associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f^{\prime}
Dérivée des fonctions usuelles
| Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivabilité |
| k \left(k \in \mathbb{R}\right) | 0 | \mathbb{R} |
| x | 1 | \mathbb{R} |
| x^{n} \left(n \in \mathbb{N}\right) | nx^{n-1} | \mathbb{R} |
| \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^{2}} | \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} | \left]0;+\infty \right[ |
Opérations
Si u et v sont 2 fonctions dérivables :
| Fonction | Dérivée | Condition |
| u+v | u^{\prime}+v^{\prime} | |
| ku \left(k \in \mathbb{R}\right) | ku^{\prime} | |
| \frac{1}{v} | -\frac{v^{\prime} }{v^{2}} | v\left(x\right)\neq 0 |
| uv | u^{\prime}v+uv^{\prime} | |
| \frac{u}{v} | \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}} | v\left(x\right)\neq 0 |
Exemples
- On cherche à calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} par f\left(x\right)=x^{2}+\frac{1}{x}
f est la somme des fonctions u et v définies par u\left(x\right)=x^{2} et v\left(x\right)=\frac{1}{x}
u^{\prime}\left(x\right)=2x et v^{\prime}\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}
donc f^{\prime}\left(x\right)=2x-\frac{1}{x^{2}} - Soit la fonction g définie sur \mathbb{R} par g\left(x\right)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+1}
g est le quotient des fonctions u et v définies par u\left(x\right)=x^{3}-1 et v\left(x\right)=x^{2}+1
u^{\prime}\left(x\right)=3x^{2}+0=3x^{2} et v^{\prime}\left(x\right)=2x+0=2x
g^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{\left(3x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)-\left(x^{3}-1\right)\times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{x^{4}+3x^{2}+2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} - Soit enfin la fonction h définie sur \left]1;+\infty \right[ par h\left(x\right)=\frac{3}{x^{2}-1}
On pourrait utiliser la formule \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}} comme précédemment mais cela ne sera pas très judicieux. En effet, le numérateur étant constant, il y a une manière plus rapide de procéder. Il suffit d’écrire :
h\left(x\right)=3\times \frac{1}{x^{2}-1}
et d’appliquer la formule \left(\frac{1}{v}\right)^{\prime} = -\frac{v^{\prime} }{v^{2}} avec v\left(x\right)=x^{2}-1 (donc v^{\prime}\left(x\right)=2x)
On obtient :
h^{\prime}\left(x\right)=3\times -\frac{2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=-\frac{6x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}
III – Applications de la dérivée
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, f est croissante sur I si et seulement si f^{\prime}\left(x\right) est positif ou nul pour tout x \in I.
De plus si f^{\prime}\left(x\right) est strictement positive sur I, sauf éventuellement en quelques points, alors f est strictement croissante sur I.
Exemple
Soit la fonction f définie sur \left[-1;1\right] par f\left(x\right)=x^{3}.
f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} est positive ou nulle sur \left[-1;1\right], donc f est croissante sur \left[-1;1\right].
Comme par ailleurs, f^{\prime} est strictement positive sauf pour x=0, f est strictement croissante sur \left[-1;1\right].
On a un théorème analogue si la dérivée est négative :
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, f est décroissante sur I si et seulement si f^{\prime}\left(x\right) est négatif ou nul pour tout x \in I.
De plus si f^{\prime}\left(x\right) est strictement négative sur I, sauf éventuellement en quelques points, alors f est strictement décroissante sur I.
Remarques
- Si f est dérivable, les théorèmes précédents montre que l’étude des variations de f se ramène à l’étude du signe de la dérivée.
- On regroupe couramment le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variations de f dans un même tableau à 3 lignes (voir exemple ci-dessous)
- Pour montrer qu’une fonction f admet un maximum en a, on peut montrer que f est croissante pour x < a et décroissante pour x > a ; c’est à dire, si f est dérivable, que f^{\prime} est positive pour x < a et négative pour x > a.
