Partager |

Variables aléatoires continues

Introduction

Il arrive qu’une variable aléatoire puisse prendre n’importe quelle valeur sur RR ou sur un intervalle I de RR. Dans ce cas, X(Omega) = I.
Une telle variable est dite variable aléatoire réelle continue.
Pour une telle variable, les événements intéressants ne sont plus X = 5 , X = 20 , etc... , mais X <= 5 , 5 <= X <= 20 etc...

1. Généralités

Définition

Une variable aléatoire réelle continue est une application définie sur un ensemble Omega et prenant toutes les valeurs d'un intervalle I de RR.

Exemple

C’est le cas par exemple d’une variable aléatoire qui mesure la durée de vie d'un organisme ou la taille d'une personne.
Plus généralement, les variables qui résultent d’une mesure peuvent être considérées comme des variables aléatoires continues

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I=[a;b] telle que int_a^bf(x)dx=1
On dit que X est une variable aléatoire réelle continue de densité f si et seulement si pour tout x_1 in I et tout x_2 in I .. x_2>=x_1 :
P(x_1<=X<=x_2)=int_(x_1)^(x_2)f(x)dx

Exemple

La fonction f définie sur I=[0;2] par f(x)=x/2 est une fonction continue et positive sur I et :
int_0^2f(x)dx=[[(x^2)/4]]_0^2=1
Si X est la variable aléatoire réelle à valeur dans I de densité f on a, par exemple :
P(1<=X<=1,5) = int_1^(1,5)f(x)dx
donc P(1<=X<=1,5) est l'aire (en u.a.) colorée ci-dessous.

fonction densité
Probabilité pour que X soit compris entre 1 et 1.5

Un calcul simple montre que P(1<=X<=1,5)=[[(x^2)/4]]_1^(1,5)=0,3125

2. Loi uniforme sur [a; b]

Définition

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a;b] si sa densité de probabilité f est définie sur [a;b] par f(x)=1/(b-a)

loi-uniforme
Densité de la loi uniforme sur l'intervalle [0, 2

]

Remarque

  • On vérifie facilement que int_a^b 1/(b-a) dx=[[(x)/(b-a)]]_a^b=1
  • si a<=x_1<=x_2<=b alors P(x_1<=X<=x_2) = int_(x_1)^(x_2)1/(b-a)dx = (x_2-x_1)/(b-a)

3. Loi exponentielle de paramètre λ

Définition

On dit qu'une variable aléatoire X suit une exponentielle de paramètre lambda>0sur [0;+oo[ si sa densité de probabilité f est définie sur [0;+oo[ par f(x)=lambda e^(-lambda x)

loi-exponentielle
Densité de la loi exponentielle de paramètre 1

Remarques

  • On vérifie que :
    int_0^(+oo) lambda e^(-lambda x) dx = lim(t->+oo)int_0^t lambda e^(-lambda x) dx = lim(t->+oo)[[-e^(-lambda x)]]_0^t \\ fantome(int_0^(+oo) lambda e^(-lambda x) ddddx )= lim(t->+oo)-e^(-lambda t)+1 =1
  • si 0<=x_1<=x_2 alors P(x_1<=X<=x_2) = int_(x_1)^(x_2)lambda e^(-lambda x)) dx = e^(-lambda x_1) - e^(-lambda x_2)
Partager |

Copyright 2007-2012 - Maths-cours.fr