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Primitives d'une fonction

Objectifs de ce chapitre

- connaître la définition du mot « primitive »
- connaître la relation qui existe entre deux primitives d'une même fonction
- savoir calculer une primitive à l'aide du tableau des primitives usuelles
- savoir trouver une primitive vérifiant une condition du type F(x_0)=y_0
- savoir calculer une primitive en se ramenant à une forme du type (u')/u, u'u^n, etc.
- savoir calculer une primitive à l'aide d'une intégration par parties

Définition

Soit f une fonction définie sur I.
On dit que F est une primitive de f sur l'intervalle I, si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, F'(x) = f(x).

Exemple

La fonction F: ..x|->x^2 est une primitive de la fonction f:..x|->2x sur RR.
La fonction G: ..x|->x^2+1 est aussi une primitive de cette même fonction f.

Propriété

Si F est une primitive de f sur I, alors les autres primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F+k où k in RR.

Remarque

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de f mais une primitive de f.

Exemple

Les primitives de la fonction f:..x|->2x sont les fonctions F:.. x|->x^2+k où k in RR.

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Propriétés

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction f Primitives F Ensemble de validité
0 k RR
a ax+k RR
x^n .. (n in NN) (x^(n+1))/(n+1)+k RR
1/(x^n) .. (n in NN;..n>1) -1/((n-1)x^(n-1))+k RR-{0}
1/x lnx+k ]0;+oo[
e^x e^x+k RR

Propriétés

Si f et g sont deux fonctions définies sur I et admettant respectivement F et G comme primitives sur I et k un réel quelconque.

  • F+G est une primitive de la fonction f+g sur I.
  • kF est une primitive de la fonction kf sur I.

Propriétés

Primitives et fonctions composées

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Fonction f Primitives F Condition
u'u^n .. (n in NN) (u^(n+1))/(n+1)+k  
(u')/u ln u+k si u(x)>0
(u')/(u^n) .. (n in NN;..n>1) -1/((n-1)u^(n-1))+k si u(x)!=0
(u')/(sqrtu) 2sqrt(u)+k si u(x)>0
u'e^u e^u+k  

Exemple

La fonction x|->(2x)/(x^2+1) admet comme primitives les fonctions de la forme x|->ln(x^2+1)+k sur tout intervalle de RR (forme (u')/u).

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