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Introduction aux nombres complexes

Théorème et définition

Il existe un ensemble CC contenant RR et dans lequel :

  • l'addition et la multiplication possèdent les mêmes propriétés que dans RR
  • il existe un élément i tel que i^2=-1

Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes

Attention!

Les relations de comparaison >= .. <= .. > .. < ne s'étendent pas "correctement" à CC. Il n'est donc pas possible de comparer 2 nombres complexes.

Théorème et définitions

Tout élément z in CC peut s'écrire sous la forme z=x+iy avec x in RR,..y in RR.
Cette forme z=x+iy s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
x s'appelle la partie réelle de z et y la partie imaginaire.

Définition

On appelle conjugué du nombre complexe z=x+iy le nombre complexe noté bar(z) et égal à bar(z)= x-iy

Définition

On appelle module du nombre complexe z=x+iy le nombre réel positif ou nul noté |z| et égal à |z| = sqrt(x^2+y^2)

Propriétés

Pour tout z in CC,..z_1 in CC,..z_2 in CC :

  • bar(z_1+z_2)=bar(z_1)+bar(z_2)
  • bar(z_1*z_2)=bar(z_1)*bar(z_2)
  • bar(((z_1)/(z_2)))=(bar(z_1))/(bar(z_2))
  • zbar(z)=|z|^2
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