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Limites d'une fonction

Objectifs de ce chapitre

  • savoir ce qu'est une limite, une limite à droite, une limite à gauche
  • savoir calculer les limites (à droite et à gauche) du type «k/0»
  • connaître les limites usuelles (avec exponentielle, logarithme,...)
  • savoir reconnaître les différentes formes indéterminées
  • savoir lever les indéterminations dans les cas courants (fraction rationnelle, dérivée en un point, ...)
  • savoir déterminer les asymptotes à une courbe (asymptotes horizontale, verticale, oblique)

1. Limites usuelles

Propriétés

Pour tout entier n>1

  • lim(x->-oo)x^n=syst(-oo ` si n est impair` ; +oo ` si n est pair`)
  • lim(x->+oo)x^n=+oo
  • lim(x->-oo)1/(x^n)=0
  • lim(x->+oo)1/(x^n)=0
  • lim(x->0;x<0)1/x=-oo
  • lim(x->0;x>0)1/x=+oo
  • lim(x->+oo)sqrt(x)=+oo

2. Opération sur les limites

Propriétés

Limite d'une somme
a désigne un réel ou +oo ou -oo

lim(x->a)f(x) lim(x->a)g(x) lim(x->a)f(x)+g(x)
l l' l+l'
l +oo +oo
l -oo -oo
+oo +oo +oo
-oo -oo -oo
+oo -oo F.I.

- F.I. signifie forme indéterminée.

Propriétés

Limite d'un produit
a désigne un réel ou +oo ou -oo

lim(x->a)f(x) lim(x->a)g(x) lim(x->a)f(x)*g(x)
l l' l*l'
l!=0 \pm oo (signe)oo
\pm oo \pm oo (signe)oo
0 \pm oo F.I.
  • F.I. signifie forme indéterminée.
  • \pm oo signifie que la formule s'applique pour +oo et pour -oo
  • (signe)oo signifie que l'on utilise la règle des signes usuelle :
    +*+=+
    +*-=-
    -*-=+
    pour déterminer si la limite vaut +oo ou -oo

Propriétés

Limite d'un quotient
a désigne un réel ou +oo ou -oo

lim(x->a)f(x) lim(x->a)g(x) lim(x->a)(f(x))/(g(x))
l l'!=0 (l)/(l')
l!=0 0 (signe)oo
0 0 F.I.
l \pm oo 0
\pm oo l (signe)oo
\pm oo \pm oo F.I.

3. Théorèmes de comparaison

Théorèmes

  • Si f(x)>=g(x) sur un intervalle de la forme [a;+oo[ et si lim(x->+oo)g(x)=+oo alors :
    lim(x->+oo)f(x)=+oo
  • Si f(x)<=g(x) sur un intervalle de la forme [a;+oo[ et si lim(x->+oo)g(x)=-oo alors :
    lim(x->+oo)f(x)=-oo

Théorème

Théorème des "gendarmes"
Si g(x)<=f(x)<=h(x) sur un intervalle de la forme [a;+oo[ et si lim(x->+oo)g(x)=lim(x->+oo)h(x)=l alors :
lim(x->+oo)f(x)=l

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