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Fonctions continues

Objectifs de ce chapitre

- savoir ce qu'est une fonction continue
- connaître des exemples de fonction discontinue (partie entière,...)
- connaître le théorème des valeurs intermédiaires
- savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour déterminer le nombre de solutions d'une équation
- savoir donner une valeur approchée d'une solution à l'aide d'une calculatrice

Définition

Une fonction définie sur un intervalle est continue sur si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon

Exemples

Les fonctions polynômes sont continues sur .
Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur .

Théorème

Si et sont continues sur , les fonctions f+g , ( k in RR ) et f*g sont continues sur .

Théorème

Si et sont continues sur , et si ne s'annule pas sur , la fonction f/g , est continue sur .

Théorème

Si est continue sur et si est continue sur f(I) , la fonction g°f est continue sur .

Théorème

Continuité et dérivabilité
Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur .

Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires
Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle et si y_0 in f(I) l'équation f(x)=y_0 admet une unique solution sur l'intervalle .