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Fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de la fonction x |-> 1/x définie sur ]0;+oo[ qui s’annule pour x=1.

Conséquences

Pour tout x in \ ]0;+oo[ :

  • (ln\ x)' = 1/x
  • int(1;x)1/tdt = ln\ x

Propriété

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+oo[.

Propriétés

Limites :

  • lim(x->0)ln x = -oo
  • lim(x->+oo)ln x = +oo
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien

Représentation graphique de la fonction logarithme népérien

Théorème

Formes indéterminées :

  • lim(x->0)x ln x = 0
  • lim(x->+oo)(ln x)/x = 0
  • lim(x->0)(ln(1+x))/x = 1

Théorème

Si a et b sont 2 réels strictement positifs :

  • ln\ a= ln b si et seulement si a=b
  • ln\ a< ln b si et seulement si a < b

Théorème

Si a et b sont 2 réels strictement positifs et si n in ZZ :

  • ln(ab)= ln a + ln b
  • ln(a/b)= ln a - ln b
  • ln(a^n)= n ln a
  • ln(sqrta)= 1/2 ln a
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