Partager |

Equations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l'ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l'égalité pour tout  x in I

Remarque

Attention aux notations : Dans une équation différentielle, l'usage est de noter y pour f(x), y' pour f'(x) etc.
L'équation différentielle f'(x)=f(x)+x s'écrira par exemple y'=y+x.
Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!

Exemple

La fonction f :   x |->x^2 est une solution sur RR de l'équation différentielle:
2y=xy'
En effet : f(x)=x^2 et f'(x)=2x donc 2f(x)=x*f'(x)

Théorème

Les solutions, sur RR, de l'équation différentielle y'=ay (où a in RR) sont les fonctions définies par
f(x)=Ke^(ax) où K est un réel quelconque.

Démonstration

  • Soit une fonction f définie par  f(x)=Ke^(ax) où K est un réel quelconque.
    f'(x)=aKe^(ax)
    donc f'(x)=af(x) et f est bien solution de l'équation différentielle y'=ay
  • Réciproquement, soit f une solution de l'équation différentielle y'=ay. On a f'(x)=af(x) pour tout x in RR.
    Posons g(x)=f(x)e^(-ax). g est dérivable sur RR et :
    g'(x)=f'(x)e^(-ax)-af(x)e^(-ax)=(f'(x)-af(x))e^(-ax)=0
    g est donc une fonction constante : g(x)=K
    Donc f(x)e^(-ax)=K, c'est à dire en multipliant chaque membre par e^(ax):
    f(x)=Ke^(ax)

Théorème

Les solutions, sur RR, de l'équation différentielle y'=ay + b ( où a in RR\{0} et b in RR) sont les fonctions définies par
f(x)=Ke^(ax)-b/a où K est un réel quelconque.

Théorème

Soit (x_0, y_0) un couple de réels. Il existe une unique fonction f solution sur RR de l'équation différentielle y'=ay + b ( où a in RR et b in RR ) vérifiant la condtion f(x_0)=y_0

Remarque

La condition f(x_0)=y_0 est souvent appelée condition initiale

Partager |

Exercices

Méthodes

Copyright 2007-2012 - Maths-cours.fr